Másodfokú egyenlet
Másodfokú egyenlet feladatok megoldással
Hét feladat növekvő nehézségi sorrendben, mindegyik teljes, leírható megoldással. Előbb próbáld meg magad, aztán vesd össze a lépéseket – a hibát így találod meg a leggyorsabban.
Röviden a válasz
Az alábbi hét feladat lefedi a dolgozatokban előforduló típusokat: alapfeladat megoldóképlettel, kétszeres gyök, nulla megoldás, zárójelfelbontás utáni rendezés, törtes egyenlet kikötéssel és új ismeretlen bevezetése.
Mindegyik ugyanazzal a három lépéssel megy: rendezés nulla alakra, diszkrimináns, megoldóképlet. Ha a menetben bizonytalan vagy, előbb nézd meg a másodfokú egyenlet oldalt.
Ellenőrizd a megoldásaidat
Írd be a rendezett egyenlet együtthatóit, és hasonlítsd össze a saját számolásoddal.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
1. feladat – alapeset
Kidolgozott példa · x² + 2x − 15 = 0
Oldd meg a valós számok halmazán!
- Az együtthatók:a = 1, b = 2, c = -15
- Diszkrimináns:D = 22 − 4 · 1 · (-15) = 4 + 60 = 64
- Megoldóképlet:x1,2 = -2 ± 82
- A két gyök:x1 = 3, x2 = -5
Eredményx1 = 3 és x2 = -5
2. feladat – ha az a nem 1
Kidolgozott példa · 5x² − 26x + 5 = 0
A nagy együtthatóktól ne ijedj meg – a menet ugyanaz.
- Diszkrimináns:D = (-26)2 − 4 · 5 · 5 = 676 − 100 = 576
- A 576 négyzetszám, gyöke 24:x1,2 = 26 ± 2410
- A pluszos ág:x1 = 5010 = 5
- A mínuszos ág:x2 = 210 = 0,2
Eredményx1 = 5 és x2 = 0,2
3. feladat – kétszeres gyök
Kidolgozott példa · 4x² − 4x + 1 = 0
Hány megoldása van?
- Diszkrimináns:D = (-4)2 − 4 · 4 · 1 = 16 − 16 = 0
- Mivel D = 0, egyetlen (kétszeres) gyök van:x = -b2 · a = 48 = 0,5
- Ez nem véletlen: a bal oldal teljes négyzet:4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2
Eredményx = 0,5, kétszeres gyök.
4. feladat – amikor nincs megoldás
Kidolgozott példa · x² + x + 3 = 0
Oldd meg a valós számok halmazán!
- Diszkrimináns:D = 12 − 4 · 1 · 3 = 1 − 12 = -11
- A D negatív, tehát a gyök alá negatív szám kerülne:√-11
EredményA valós számok halmazán nincs megoldás.
5. feladat – zárójelfelbontás után
Kidolgozott példa · (x − 2)(x + 4) = 16
A jobb oldalon nem 0 áll, ezért előbb rendezni kell.
- Beszorzunk:x2 + 4x − 2x − 8 = 16
- Összevonás és rendezés nulla alakra:x2 + 2x − 24 = 0
- Diszkrimináns:D = 22 − 4 · 1 · (-24) = 4 + 96 = 100
- Megoldóképlet:x1,2 = -2 ± 102
- A két gyök:x1 = 4, x2 = -6
Eredményx1 = 4 és x2 = -6
6. feladat – törtes egyenlet
Kidolgozott példa · x + 12/x = 8
Kikötés kell, mert az ismeretlen a nevezőben van.
- Kikötés:x ≠ 0
- Beszorzunk x-szel:x2 + 12 = 8x
- Rendezés nulla alakra:x2 − 8x + 12 = 0
- Diszkrimináns:D = (-8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
- Megoldóképlet:x1,2 = 8 ± 42
- Mindkét gyök megfelel a kikötésnek:x1 = 6, x2 = 2
Eredményx1 = 6 és x2 = 2
7. feladat – új ismeretlen bevezetése
Kidolgozott példa · x⁴ − 13x² + 36 = 0
Negyedfokú egyenlet, de másodfokúra vezethető vissza.
- Vezessük be az y = x2 jelölést (y ≥ 0):y2 − 13y + 36 = 0
- Diszkrimináns:D = (-13)2 − 4 · 1 · 36 = 169 − 144 = 25
- A két érték y-ra:y1,2 = 13 ± 52 → y1 = 9, y2 = 4
- Visszahelyettesítés: x2 = 9 és x2 = 4:x = ±3 és x = ±2
EredményNégy megoldás: -3, -2, 2, 3.
Melyik feladathoz melyik módszer?
| Amit látsz | Mit tegyél |
|---|---|
| Rendezett ax2 + bx + c = 0 | Diszkrimináns, majd megoldóképlet. |
| Hiányzik a b vagy a c | Gyökvonás vagy kiemelés – lásd a hiányos egyenletek oldalt. |
| Zárójeles szorzat, jobb oldalon nem 0 | Bontsd fel, rendezd nulla alakra, csak utána képlet. |
| Az ismeretlen a nevezőben | Kikötés, beszorzás, majd a szokásos menet. |
| x4 és x2 szerepel | Új ismeretlen: y = x2, a végén visszahelyettesítés. |
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlet gyökei 4 és −6. Mi lehetett a rendezett alak, ha a = 1?
Miért kell kikötés a 6. feladatban, és miért nem kellett a többinél?
Gyakori kérdések
Hogyan gyakoroljam a másodfokú egyenleteket a legjobban?
Először old meg a feladatot leírva, a képlet minden lépésével, és csak utána nézd meg a megoldást. A második gyök behelyettesítéses ellenőrzése legalább annyit ér, mint maga a számolás – így derül ki azonnal az előjelhiba.
Mit tegyek, ha a diszkrimináns nem négyzetszám?
Semmi különöset: a gyökös alak marad a pontos megoldás, mellé pedig két tizedesjegyre kerekített közelítést írhatsz. A feladat akkor is helyes, ha nem „szép” szám jön ki.
Melyik feladattípus jön elő leggyakrabban dolgozatban?
A zárójelfelbontás utáni rendezés és a törtes egyenlet. Mindkettőben az a lényeg, hogy a nulla alakot elérd, mert a megoldóképlet csak arra alkalmazható.
Kell mindkét gyököt megadni válaszként?
Igen, ha a feladat tiszta egyenlet. Csak szöveges feladatnál kell megvizsgálni, hogy a gyök beleillik-e a szövegbe – ott például negatív hossz nem lehet megoldás.
Hogyan ellenőrzöm gyorsan a két gyököt?
a = 1 esetén a két gyök összege -b, szorzatuk c. Az 1. feladatban 3 + (-5) = -2 és 3 · (-5) = -15 – mindkettő stimmel az egyenlet együtthatóival.