Másodfokú egyenlet
A másodfokú egyenlet diszkriminánsa
A diszkrimináns egyetlen szám, amiből a teljes megoldás előtt kiderül, hány gyök van. Paraméteres feladatokban pedig épp ez a szám a főszereplő.
Röviden a válasz
A diszkrimináns a megoldóképlet gyökjele alatti kifejezés: D = b2 − 4 · a · c. Az előjele dönti el a valós gyökök számát: D > 0 esetén kettő, D = 0 esetén egy (kétszeres), D < 0 esetén nulla megoldás van.
A neve is ezt jelenti: a *discriminare* latin szó megkülönböztetést jelent – a diszkrimináns megkülönbözteti egymástól a három esetet, még mielőtt kiszámolnád a gyököket.
Diszkrimináns-kalkulátor
Írd be az együtthatókat – a kiemelt eredmény a D értéke, alatta a gyökök.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és amit elárul
Ez a kifejezés a megoldóképletben a gyökjel alatt áll. Mivel valós számok között negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni, a D előjele közvetlenül eldönti, folytatható-e a képlet.
| Egyenlet | D értéke | Következtetés |
|---|---|---|
| x2 + 5x − 14 = 0 | 25 + 56 = 81 | két gyök (2 és −7), D négyzetszám |
| 3x2 − 7x + 2 = 0 | 49 − 24 = 25 | két gyök (2 és 13) |
| x2 − 3x + 1 = 0 | 9 − 4 = 5 | két irracionális gyök |
| 2x2 − 3x + 5 = 0 | 9 − 40 = -31 | nincs valós megoldás |
Mit jelent a három eset a parabolán?
Az y = a x2 + b x + c függvény képe parabola, a gyökök pedig a parabola és az x tengely metszéspontjai. A diszkrimináns tehát azt mondja meg, hányszor metszi a görbe a tengelyt.
A D = 0 eset a legérdekesebb: ekkor a csúcspont éppen az x tengelyen van, és a gyök x = -b2a. Az x2 − 4x + 4 = 0 egyenletnél ez x = 2, és a bal oldal valóban teljes négyzet: (x − 2)2.
Négyzetszám-e a D? Ebből is következik valami
Egész együtthatók mellett a D négyzetszám volta azt árulja el, racionálisak lesznek-e a gyökök. Ha D négyzetszám (1, 4, 9, 16, 25, …), a gyökök törtek vagy egészek. Ha nem, a gyökökben gyökjel marad.
Kidolgozott példa · 3x² − 7x + 2 = 0
Számold ki a diszkriminánst, és vond le a következtetést!
- Diszkrimináns:D = (-7)2 − 4 · 3 · 2 = 49 − 24 = 25
- Pozitív és négyzetszám, tehát két racionális gyök lesz:x1,2 = 7 ± 56
- A két gyök:x1 = 2, x2 = 26 = 13
EredményD = 25, két racionális gyök: 2 és 13.
Paraméteres feladatok – itt kell igazán a D
A tipikus érettségi kérdés így hangzik: „Milyen p érték mellett van az egyenletnek pontosan egy megoldása?” Ilyenkor nem az egyenletet oldod meg, hanem a diszkriminánsra írsz fel feltételt.
Kidolgozott példa · x² + px + 9 = 0
Milyen p esetén van pontosan egy (kétszeres) megoldás?
- A diszkrimináns a p paraméterrel:D = p2 − 4 · 1 · 9 = p2 − 36
- Pontosan egy gyök akkor van, ha D = 0:p2 − 36 = 0
- Ez maga is másodfokú (hiányos) egyenlet:p = ±6
- Ellenőrzés p = 6-tal:x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0 → x = -3
Eredményp = 6 vagy p = -6. Ha |p| > 6, két gyök van, ha |p| < 6, egy sem.
Kidolgozott példa · x² − 4x + m = 0
Milyen m értékekre van két különböző valós megoldás?
- A diszkrimináns:D = (-4)2 − 4 · 1 · m = 16 − 4m
- Két gyök feltétele:16 − 4m > 0
- Rendezve (a 4-gyel osztás nem fordítja meg a relációt):m < 4
EredményMinden m < 4 esetén két gyök van, m = 4 esetén egy, m > 4 esetén egy sem.
Gyors önellenőrzés
Mennyi a D értéke a x2 − 6x + 10 = 0 egyenletben, és mi következik belőle?
Lehet-e a diszkrimináns nulla, ha c = 0?
Két egyenlet diszkriminánsa 49 és 50. Mi a lényegi különbség?
Gyakori kérdések
Mi a másodfokú egyenlet diszkriminánsa?
A D = b2 − 4 · a · c kifejezés, amely a megoldóképletben a gyökjel alatt áll. Az előjele megmutatja, hány valós megoldása van az egyenletnek.
Mit jelent, ha a diszkrimináns 0?
Azt, hogy egyetlen, kétszeres gyök van: x = -b2a. Ilyenkor a bal oldal teljes négyzet, a parabola pedig érinti az x tengelyt a csúcspontjában.
Mit jelent a negatív diszkrimináns?
Azt, hogy a valós számok halmazán nincs megoldás, mert negatív számból nem lehet valós négyzetgyököt vonni. A parabola ilyenkor teljes egészében az x tengely egyik oldalán halad.
Hogyan használom a diszkriminánst paraméteres feladatban?
Írd fel a D-t a paraméterrel, majd tedd fel a feladat feltételét: két gyökhöz D > 0, egyhez D = 0, nulla megoldáshoz D < 0. Az így kapott egyenlőtlenséget kell megoldani.
Miért éppen b² − 4ac a képlet?
Mert a megoldóképlet levezetésekor, a teljes négyzetté alakítás után pontosan ez a kifejezés kerül a gyökjel alá. A 4a2 nevező a képlet nevezőjébe, a számláló pedig a gyök alá jut.