A kör
A kör egyenlete
Ez az oldal nem területet és kerületet számol, hanem a kört mint ponthalmazt írja le a koordinátarendszerben – és megmutatja, hogyan olvasod ki bármelyik alakból a középpontot meg a sugarat.
Röviden a válasz
A C(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x − u)2 + (y − v)2 = r2. Ha a középpont az origó, ez x2 + y2 = r2 alakra egyszerűsödik.
Az egyenlet nem más, mint a távolságképlet négyzetre emelve: a kör azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a középponttól pontosan r távolságra vannak.
A kör középponti egyenlete
A képlet a Pitagorasz-tételből jön. Egy P(x; y) pont akkor van rajta a körön, ha a C-től mért távolsága r. A távolságot a koordinátakülönbségekből számoljuk: CP = √(x-u)2 + (y-v)2. Ha ez egyenlő r-rel, akkor a négyzetük is egyenlő – így kapjuk a fenti alakot, gyökjel nélkül.
Egyenlet felírása középpontból és sugárból
Kidolgozott példa · C(2; 5), r = 4
Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja C(2; 5), sugara 4 egység!
- Indulj a középponti alakból:(x − u)2 + (y − v)2 = r2
- Helyettesítsd be a koordinátákat:(x − 2)2 + (y − 5)2 = 42
- A jobb oldalt számold ki:(x − 2)2 + (y − 5)2 = 16
Eredmény(x − 2)2 + (y − 5)2 = 16
Ha a középpont az origó, az egyenlet x2 + y2 = r2. Ez a legegyszerűbb eset, és ez az alapja az egységkörnek is, ahol r = 1, tehát x2 + y2 = 1.
Az általános alak és a teljes négyzetté alakítás
A zárójeleket felbontva az egyenlet x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 alakot ölt – ezt hívjuk általános alaknak. Feladatokban gyakran így kapod meg, és neked kell visszaalakítanod, hogy lásd a középpontot meg a sugarat. Az eszköz a teljes négyzetté alakítás.
Kidolgozott példa · x² + y² + 6x − 4y − 12 = 0
Add meg a kör középpontját és sugarát!
- Csoportosítsd az x-es és az y-os tagokat:(x2 + 6x) + (y2 − 4y) = 12
- Egészítsd ki teljes négyzetté: a 6 fele 3, annak a négyzete 9; a −4 fele −2, annak a négyzete 4. Mindkét oldalhoz hozzáadod:(x2 + 6x + 9) + (y2 − 4y + 4) = 12 + 9 + 4
- Írd fel négyzetként:(x + 3)2 + (y − 2)2 = 25
- Olvasd ki az adatokat: a jobb oldal r2, tehát:r = √25 = 5
EredményKözéppont: C(-3; 2), sugár: r = 5
A középpont a rövidebb úton is kiolvasható: u = -D2 és v = -E2, a sugár pedig r = √u2 + v2 − F. A fenti példában u = -3, v = 2, r = √9 + 4 + 12 = 5 – ugyanaz jön ki, csak gyorsabban.
Rajta van-e a pont a körön?
Helyettesítsd be a pont koordinátáit a bal oldalba, és hasonlítsd össze az eredményt r2-tel. Három eset lehetséges: kisebb – a pont belül van; egyenlő – rajta van a körvonalon; nagyobb – kívül van.
Kidolgozott példa · P(6; 5) és Q(0; 0) helyzete
A kör egyenlete (x − 2)2 + (y − 5)2 = 16. Hol helyezkedik el a két pont?
- A P(6; 5) behelyettesítve:(6 − 2)2 + (5 − 5)2 = 16 + 0 = 16
- Ez pontosan r2, tehát P rajta van a körön. Most a Q(0; 0):(0 − 2)2 + (0 − 5)2 = 4 + 25 = 29
- A 29 nagyobb, mint 16, tehát Q a körön kívül van.29 > 16
EredményP a körvonalon, Q a körön kívül
| A bal oldal értéke | A pont helyzete |
|---|---|
| kisebb, mint r2 | a körlap belsejében |
| egyenlő r2-tel | rajta a körvonalon |
| nagyobb, mint r2 | a körön kívül |
Innen hova tovább?
Ha kiolvastad a sugarat, onnantól minden szokásos körszámítás nyitva áll: a kör területe T = r2 · π, a kerülete pedig K = 2 · r · π. A fenti r = 5 sugárral például T = 78,5 területegység.
Sugárból terület és kerület
Ha az egyenletből már kiolvastad a sugarat, itt megnézheted, mekkora körről van szó.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Tipikus feladat még a háromszög köré írt kör egyenletének felírása: ott előbb a köré írt kör középpontját és sugarát keresed meg, majd behelyettesíted a fenti alapalakba. Ezt lépésről lépésre a háromszög köré írható kör egyenlete oldalon nézheted meg.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a sugara annak a körnek, amelynek egyenlete (x − 1)2 + (y + 4)2 = 49?
Írd fel az origó középpontú, 3 sugarú kör egyenletét!
Kört ír-e le az x2 + y2 − 2x + 4y + 10 = 0 egyenlet?
Gyakori kérdések
Mi a kör egyenlete?
A C(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x − u)2 + (y − v)2 = r2. Origó középpont esetén ez x2 + y2 = r2 alakra egyszerűsödik.
Hogyan olvasom ki a középpontot az egyenletből?
A zárójelekben álló számok ellentettjei adják a koordinátákat: (x + 3)2 + (y − 2)2 = 25 esetén a középpont C(-3; 2). A jobb oldal négyzetgyöke a sugár, itt r = 5.
Mi az általános alak, és hogyan alakítom vissza?
Az általános alak x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Teljes négyzetté alakítással jutsz vissza a középponti alakhoz, vagy közvetlenül: u = -D2, v = -E2, r = √u2 + v2 − F.
Honnan tudom, hogy egy pont rajta van-e a körön?
Helyettesítsd be a koordinátáit az egyenlet bal oldalába. Ha az eredmény pontosan r2, a pont a körvonalon van; ha kisebb, belül; ha nagyobb, kívül.
Miért nem szerepel a π a kör egyenletében?
Mert az egyenlet nem hosszat vagy területet ad meg, hanem azt a feltételt írja le, hogy egy pont a középponttól r távolságra van. A π csak akkor lép be, amikor a körvonal hosszát vagy a körlap területét számolod.