Szögfüggvények
Egységkör
A derékszögű háromszöggel csak hegyesszögekig jutsz el. Az egységkör ott folytatja: tetszőleges forgásszögre megmondja a szinuszt és a koszinuszt, előjelestül.
Röviden a válasz
Az egységkör a koordináta-rendszer origója körüli, 1 egység sugarú kör. Ha az x tengely pozitív feléről α szöggel elfordulsz, a körön kapott P pont koordinátái pontosan P(cos α; sin α).
Ezért marad értelme a szögfüggvényeknek 90° felett is: a koszinusz a vízszintes, a szinusz a függőleges koordináta, és ezek negatívak is lehetnek. A tangens a kettő hányadosa: tg α = sin αcos α.
Szögfüggvények bármekkora szögre
Írj be 90-nél nagyobb szöget is, például 120-at vagy 210-et – az egységkörön ezeknek is van szinusza és koszinusza.
Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát és tangensét.
- Szög
- –
- Radiánban
- –
- szinusz
- –
- koszinusz
- –
- tangens
- –
- kotangens
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi az egységkör?
Az egységkör középpontja az origó, sugara pontosan 1 egység. A szöget az x tengely pozitív feléről mérjük, az óramutató járásával ellentétes irányban – ez a pozitív forgásirány.
A P pontból az x tengelyre bocsátott merőleges egy derékszögű háromszöget hoz létre, amelynek az átfogója a sugár, vagyis 1. Ebben a háromszögben sin α = szemközti1 és cos α = melletti1 – az arányok nevezője eltűnik, ezért lesz a két befogó hossza maga a szinusz és a koszinusz.
Előjelek a négy negyedben
A koordináta-rendszer négy negyedében a koordináták előjele más és más, és ezt öröklik a szögfüggvények is. A koszinusz az x, a szinusz az y koordináta előjelét követi.
| Negyed | Szögtartomány | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|---|
| I. | 0°–90° | + | + | + |
| II. | 90°–180° | + | − | − |
| III. | 180°–270° | − | − | + |
| IV. | 270°–360° | − | + | − |
A tangens előjele a hányadosból következik: két azonos előjelű koordináta pozitív tangenst ad (I. és III. negyed), két különböző pedig negatívat (II. és IV. negyed).
Kidolgozott példa · α = 150° a második negyedben
Mennyi sin 150°, cos 150° és tg 150°?
- A 150° a második negyedben van. A tengelytől mért hegyesszöge: 180° − 150° = 30°.sin 150° = sin 30° = 0,5
- A koszinusz ugyanennyi, de a második negyedben negatív:cos 150° = -cos 30° = -0,866
- A tangens a hányadosuk:tg 150° = 0,5-0,866 = -0,5774
- A pont koordinátái az egységkörön:P(-0,866; 0,5)
Eredménysin 150° = 0,5, cos 150° = -0,866, tg 150° = -0,5774
A Pitagorasz-tétel az egységkörön
A P pont és az origó távolsága a sugár, vagyis 1. Ha erre a derékszögű háromszögre felírod a Pitagorasz-tételt, egyből megkapod a trigonometria legfontosabb azonosságát.
Kidolgozott példa · Egy pont az egységkörön: első koordinátája −0,8
A pont a második negyedben van. Mennyi a szinusz, és mekkora a szög?
- Az első koordináta a koszinusz, tehát cos α = -0,8. Az azonosságból:sin2 α = 1 − (-0,8)2 = 1 − 0,64 = 0,36
- A második negyedben a szinusz pozitív:sin α = √0,36 = 0,6
- A szög inverz koszinusszal:α = cos-1(-0,8) = 143,13°
Eredménysin α = 0,6, a pont P(-0,8; 0,6), a szög 143,13°
Teljes fordulat és negatív szögek
A 360°-os fordulat után ugyanoda érkezel vissza a körön, ezért a szinusz és a koszinusz periodikus: sin(α + 360°) = sin α. Így például sin 400° = sin 40° = 0,6428.
A negatív szög azt jelenti, hogy az óramutató járásával megegyező irányban forgatsz. Ilyenkor a pont az x tengely alá kerül, tehát sin(-α) = -sin α, a koszinusz viszont változatlan: cos(-α) = cos α. Például sin(-30°) = -0,5, de cos(-30°) = 0,866.
Az egységkör egyenlete a koordinátageometriában x2 + y2 = 1 – az általános alakról a kör egyenlete oldalon olvashatsz. Ha a szöget nem fokban, hanem ívmértékben méred, a teljes kör 2 π radián; erről a radián–fok átváltás szól.
Gyors önellenőrzés
Melyik negyedben negatív a szinusz, de pozitív a koszinusz?
Mennyi cos 180° és sin 180°?
Lehet-e egy szög szinusza 1,2?
Gyakori kérdések
Mi az egységkör?
Az origó középpontú, 1 egység sugarú kör a koordináta-rendszerben. Egyenlete x2 + y2 = 1. A rajta lévő pontok koordinátái az elfordulási szög koszinusza és szinusza.
Hogyan olvasom le a szögfüggvényeket az egységkörről?
Fordulj el α szöggel az x tengely pozitív felétől, az óramutatóval ellentétesen. A kapott P pont első koordinátája cos α, a második sin α. A tangens a kettő hányadosa.
Miért van értelme a 90 foknál nagyobb szög szinuszának?
Mert az egységkörös definíció nem oldalarányokon alapul, hanem koordinátákon, és a pont a kör bármely részén lehet. A derékszögű háromszöges definíció ennek a hegyesszögekre szűkített esete.
Melyik negyedben milyen előjelűek a szögfüggvények?
Az elsőben mind pozitív; a másodikban csak a szinusz; a harmadikban csak a tangens; a negyedikben csak a koszinusz. A koszinusz az x, a szinusz az y koordináta előjelét követi.
Mi az összefüggés sin α és cos α között?
Minden szögre sin2 α + cos2 α = 1, mert a P pont origótól mért távolsága 1. Ez a Pitagorasz-tétel az egységsugarú körön.
Miért nincs a 90 foknak tangense?
Mert tg α = sin αcos α, és cos 90° = 0. A nevező nulla lenne, ezért a tangens 90°-nál (és 270°-nál) nem értelmezett.