A kör
A körszelet területe
A körszelet az a rész, amit egy húr vág le a körlapból. Nincs rá önálló alapképlet – kivonással jön ki, és pont ez az, amit a legtöbben elrontanak.
Röviden a válasz
A körszelet területe a hozzá tartozó körcikk területéből kivonva a középponti háromszög területét: T = r2 · π · α360° − r2 · sin α2.
Radiánban mért szöggel egyetlen sorban: T = r22 · (α − sin α). A húr és a szelet magassága a szögből következik: h = 2 · r · sin α2, illetve m = r − r · cos α2.
Körcikk-kalkulátor a szelethez
A körszelet a körcikkből indul: írd be a sugarat és a középponti szöget – megkapod a körcikk területét és a húr hosszát, amikből a szelet kiszámolható.
Add meg a sugarat és a középponti szöget – az ívhossz és a körcikk területe azonnal kijön.
- Beírt kör sugara r
- –
- Szög
- –
- Ívhossz
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Húr
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a körszelet, és mi nem az?
A körszelet a körlapnak az a darabja, amelyet egy húr és a hozzá tartozó ív határol. A körcikk ezzel szemben „tortaszelet”: azt két sugár és az ív fogja közre. A kettő különbsége pontosan az a háromszög, amelynek két oldala a sugár, a harmadik a húr.
Kidolgozott példa: r = 10 cm, α = 60°
Kidolgozott példa · r = 10 cm, α = 60°
Mekkora a 60°-os középponti szöghöz tartozó körszelet területe? π ≈ 3,14.
- A körcikk a körlap hatoda:T1 = 102 · 3,146 = 3146 = 52,33 cm2
- A háromszög két oldala sugár, a közbezárt szög 60°, tehát szabályos háromszög:T2 = 102 · sin 60°2 = 50 · 0,8660 = 43,30 cm2
- A szelet a kettő különbsége:T = 52,33 − 43,30 = 9,03 cm2
EredményT ≈ 9,03 cm²
| α középponti szög | Körcikk területe | Háromszög területe | Körszelet területe |
|---|---|---|---|
| 30° | 26,17 cm² | 25,00 cm² | 1,17 cm² |
| 60° | 52,33 cm² | 43,30 cm² | 9,03 cm² |
| 90° | 78,50 cm² | 50,00 cm² | 28,50 cm² |
| 120° | 104,67 cm² | 43,30 cm² | 61,37 cm² |
| 180° | 157,00 cm² | 0 cm² | 157,00 cm² |
A táblázat két érdekessége: 180°-nál a háromszög elfogy (a két sugár egy egyenesbe kerül), és a szelet épp a félkörlap lesz. A háromszög területe pedig 90° után csökkenni kezd, hiszen a sin α 90°-nál a legnagyobb. A szögfüggvények értékeiről a szögfüggvények oldalon olvashatsz.
Ha a húrt és a szelet magasságát ismered
A gyakorlatban gyakran nem a szöget mérik meg, hanem a húrt és a szelet magasságát – például egy fekvő hengeres tartályban a folyadék szélességét és mélységét. Ilyenkor a cos α2 = r − mr összefüggésből számolsz vissza szöget.
Kidolgozott példa · Fekvő tartály: r = 50 cm, vízmélység m = 20 cm
Mekkora a víz keresztmetszete? π ≈ 3,14.
- A fél középponti szög koszinusza:cos α2 = r − mr = 3050 = 0,6
- Innen a fél szög, majd a teljes szög:α2 = 53,13° → α = 106,26°
- A körcikk területe:T1 = 502 · 3,14 · 106,26360 = 2317,06 cm2
- A háromszög területe (sin 106,26° = 0,96):T2 = 502 · 0,962 = 1200 cm2
- A víz keresztmetszete a különbség:T = 2317,06 − 1200 = 1117,06 cm2
EredményT ≈ 1117 cm²
A húr hossza ugyanebből: h = 2 · 50 · sin 53,13° = 100 · 0,8 = 80 cm – ennyi széles a vízfelszín. Ha csak becslés kell, van egy gyors közelítő képlet is: T ≈ 23 · m · h, ami itt 23 · 20 · 80 = 1066,7 cm²-t ad. Ez 5%-on belül van, de dolgozatban a pontos utat kérik.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 90°-os körszelet területe 10 cm sugarú körben?
Mennyi a félkörhöz tartozó „szelet” területe?
Miért nem elég a húr és az ív közti sávot „lapos háromszögnek” nézni?
Gyakori kérdések
Mi a körszelet területének képlete?
T = r2 · π · α360° − r2 · sin α2, vagyis a körcikk területéből kivonod a két sugár és a húr által alkotott háromszög területét. Radiánban rövidebben: T = r22 · (α − sin α).
Mi a különbség a körcikk és a körszelet között?
A körcikket két sugár és az ív határolja (tortaszelet alakú), a körszeletet egy húr és az ív. A szelet mindig kisebb: a körcikkből a középponti háromszög levágásával kapod.
Hogyan számolom ki a körszelet területét a húrból?
A húrból előbb szöget számolsz: sin α2 = h2 · r. A kapott szöggel már mehet a szokásos képlet. Ha a szelet magasságát ismered, a cos α2 = r − mr összefüggés vezet a szöghöz.
Mekkora a körszelet magassága?
m = r − r · cos α2. Például 10 cm sugárnál és 60°-os szögnél m = 10 − 10 · 0,866 = 1,34 cm – ezért olyan kicsi az ehhez tartozó szelet területe.
Van a körszeletre közelítő képlet?
Igen, gyors becslésre használható a T ≈ 23 · m · h alak, ahol m a szelet magassága, h a húr hossza. Kis és közepes szögeknél néhány százalékon belül van, de a pontos érték a kivonásos képletből jön.