A kör
A körív hossza
A körív a kerület egy darabja – pontosan akkora hányada, amekkora a hozzá tartozó középponti szög a teljes 360°-nak. Fokban és radiánban is megmutatjuk, kalkulátorral együtt.
Röviden a válasz
A körív hossza a kerület annyiad része, amennyi a középponti szög a 360°-ból: i = 2 · r · π · α360°.
Radiánban mért szögnél a képlet még rövidebb: i = r · α. Például 15 cm sugarú körben a 72°-os ív hossza i = 2 · 15 · 3,14 · 72360 = 18,84 cm (π ≈ 3,14).
Ívhossz-kalkulátor
Add meg a sugarat és a középponti szöget – az ívhossz, a körcikk területe és a húr is kijön.
Add meg a sugarat és a középponti szöget – az ívhossz és a körcikk területe azonnal kijön.
- Beírt kör sugara r
- –
- Szög
- –
- Ívhossz
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Húr
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A körív hosszának képlete
Az első képlet két részből áll: a 2 · r · π a teljes kerület, az α360° pedig azt mondja meg, ennek hányad részét vágtad ki. Egy 90°-os ív a kerület negyede, egy 180°-os a fele – semmi mást nem csinálsz, csak arányosan osztod a körvonalat.
Ívhossz fokból – kidolgozott példa
Kidolgozott példa · r = 15 cm, α = 72°
Mekkora a 72°-os középponti szöghöz tartozó ív hossza? π ≈ 3,14.
- Előbb a teljes kerület:K = 2 · 15 · 3,14 = 94,2 cm
- A 72° a teljes szög ötöde:α360° = 72360 = 15
- Az ív a kerület ötöde:i = 94,25 = 18,84 cm
Eredményi = 18,84 cm
| α középponti szög | A kerület hányada | i ívhossz |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | 7,85 cm |
| 45° | 1/8 | 11,78 cm |
| 60° | 1/6 | 15,7 cm |
| 90° | 1/4 | 23,55 cm |
| 120° | 1/3 | 31,4 cm |
| 180° | 1/2 | 47,1 cm |
Ívhossz radiánból
Középiskolában a szöget gyakran radiánban kapod meg. Ilyenkor a képlet a lehető legegyszerűbb: i = r · α, mert a radián épp úgy van definiálva, hogy 1 radián az a középponti szög, amelyhez tartozó ív hossza megegyezik a sugárral.
Kidolgozott példa · r = 12,5 cm, α = 1,2 radián
Mekkora az 1,2 radiános középponti szöghöz tartozó ív?
- Radiánban nincs osztás 360-nal, csak szorzás:i = r · α
- Behelyettesítve:i = 12,5 · 1,2
- Az eredmény:i = 15 cm
Eredményi = 15 cm
Ív és húr – nem ugyanaz
Az ív a körvonalon fut, a húr az ív két végpontját összekötő egyenes szakasz. Az ív mindig hosszabb, mert a görbe út hosszabb, mint az egyenes. A 72°-os ívünknél a húr 2 · 15 · sin 36° = 17,63 cm – az ív ennél 1,21 cm-rel hosszabb.
Kidolgozott példa · Óra nagymutatója: r = 25 cm, 36 perc
Mekkora utat tesz meg a nagymutató vége 36 perc alatt?
- A mutató 60 perc alatt fut körbe, tehát 36 perc a teljes kör 0,6-szerese:3660 = 0,6
- A teljes kerület:K = 2 · 25 · 3,14 = 157 cm
- A megtett ív:i = 157 · 0,6 = 94,2 cm
Eredményi = 94,2 cm
Gyors önellenőrzés
Egy 25 cm sugarú körben az ív hossza 15,7 cm. Mekkora a középponti szög?
Mennyi a félkör ívének hossza 15 cm sugárnál?
Ugyanahhoz a szöghöz kétszer akkora körben mekkora ív tartozik?
Gyakori kérdések
Mi a körív hossza képlet?
Fokban mért szögnél i = 2 · r · π · α360°, radiánban i = r · α. Az első képlet a kerületet szorozza meg azzal, hogy a szög hányad része a teljes 360°-nak.
Hogyan számolom ki az ívhosszt sugár és szög nélkül?
Ha a körcikk területét ismered, elég annyi: i = 2 · Tr. Ha a szöget nem tudod, de az ívet igen, a szög is visszaszámolható: α = i · 360°2 · r · π.
Mekkora a félkör ívének hossza?
A kerület fele, vagyis i = r · π. A félkörlap kerülete viszont ennél nagyobb, mert az átmérőt is hozzá kell adni: K = r · π + 2r.
Mi a különbség az ívhossz és a húr között?
Az ív a körvonalon fut, a húr a két végpontot köti össze egyenessel. A húr mindig rövidebb: h = 2 · r · sin α2. Kis szögeknél a kettő szinte egyenlő, nagy szögeknél jelentősen eltér.
Milyen mértékegységben jön ki az ívhossz?
Hosszúságegységben – ugyanabban, amelyikben a sugarat megadtad. Ha az eredményed cm²-ben van, akkor valószínűleg a körcikk területét számoltad ki az ív helyett.