Szögfüggvények – sin, cos, tg képletek és példák

Q: Mi a szögfüggvények képlete?

Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre: sin α = (a)/(c) (szemközti befogó osztva az átfogóval), cos α = (b)/(c) (melletti befogó osztva az átfogóval), tg α = (a)/(b) (a két befogó hányadosa).

Q: Hogyan kapom vissza a szöget az arányból?

Inverz szögfüggvénnyel: a számológép sin^(-1), cos^(-1), tg^(-1) gombjával (általában SHIFT vagy 2nd után). Például ha tg α = 1,8, akkor α = 60,95°.

Q: Mennyi sin 30, sin 45 és sin 60 pontos értéke?

sin 30° = (1)/(2), sin 45° = (√(2))/(2) ~ 0,7071, sin 60° = (√(3))/(2) ~ 0,8660. A koszinuszok ugyanezek fordított sorrendben: cos 30° = (√(3))/(2), cos 45° = (√(2))/(2), cos 60° = (1)/(2).

Szögfüggvény-kalkulátor

Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát, tangensét és a radiánban mért értékét.

azonnal számol

Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát és tangensét.

Példa:

Szög: –
Radiánban: –
szinusz: –
koszinusz: –
tangens: –
kotangens: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mi az a szögfüggvény?

Rajzolj egy derékszögű háromszöget, és nagyítsd fel kétszeresére. A szögei nem változnak, az oldalai viszont mind kétszer akkorák lesznek. Ha most elosztod két oldalát egymással, ugyanazt a számot kapod, mint az eredeti háromszögben – a kétszerezés kiesik az osztásból.

Ez a hasonlóság a szögfüggvények teljes titka: a derékszögű háromszög két oldalának aránya csak a hegyesszögtől függ. Ezért érdemes nevet adni ezeknek az arányoknak, és ezért lehet őket egyszer s mindenkorra kiszámolni és táblázatba írni.

Az α szög felől nézve az a a szemközti, a b a melletti befogó, c pedig az átfogó. A β szögből nézve a két befogó szerepe felcserélődik.

A három alapfüggvény

Szinuszsin α = szemközti befogóátfogó = ac

Koszinuszcos α = melletti befogóátfogó = bc

Tangenstg α = szemközti befogómelletti befogó = ab

Van egy negyedik is, a kotangens: ctg α = ba, vagyis a tangens reciproka. Magyar tankönyvekben ritkábban kell, de a függvénytáblázatban ott van.

A három arány között két hasznos kapcsolat van. Az egyik: tg α = sin αcos α. A másik a pitagoraszi azonosság: sin² α + cos² α = 1, ami nem más, mint a Pitagorasz-tétel az a² + b² = c² egyenlet c²-tel osztott alakjában.

Hiányzó oldal kiszámítása szögből

Ez a leggyakoribb feladattípus: adott az átfogó és egy hegyesszög, keressük a befogókat. Írd fel a definíciót arra a szögre, amelyiket ismered, majd rendezd át.

Kidolgozott példa · Átfogó c = 15 cm, α = 28°

Mekkora a két befogó?

Az α szöggel szemközti befogó a szinuszból jön:a = c · sin α = 15 · sin 28°
A szinusz értéke:a = 15 · 0,4695 = 7,04 cm
A szög melletti befogó a koszinuszból:b = c · cos α = 15 · 0,8829 = 13,24 cm
Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:√7,04² + 13,24² = √49,56 + 175,30 = 15,00

Eredménya = 7,04 cm, b = 13,24 cm

Hiányzó szög kiszámítása oldalakból

Fordított irányban az inverz szögfüggvény kell: a számológépen sin^-1, cos^-1, tg^-1 (más gépeken arcsin, arccos, arctg). Ez az arányból adja vissza a szöget.

Kidolgozott példa · Befogók: a = 9 cm, b = 5 cm

Mekkorák a hegyesszögek?

Két befogó ismert, tehát a tangens a jó választás:tg α = ab = 95 = 1,8
Inverz tangenssel:α = tg^-1 1,8 = 60,95°
A másik hegyesszög a 90°-ra való kiegészítés:β = 90° − 60,95° = 29,05°
Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √9² + 5² = √106 = 10,30 cm

Eredményα = 60,95°, β = 29,05°

A nevezetes szögek értékei

Öt szöget érdemes fejből tudni, mert dolgozatban ezekkel gyakran számológép nélkül kell dolgozni.

A nevezetes szögek pontos szögfüggvényértékei
Szög	sin	cos	tg
0°	0	1	0
30°	12	√32 = 0,8660	√33 = 0,5774
45°	√22 = 0,7071	√22 = 0,7071	1
60°	√32 = 0,8660	12	√3 = 1,7321
90°	1	0	nincs értelmezve

Figyeld meg: a szinusz oszlopa lefelé nő, a koszinuszé pontosan ugyanezeket az értékeket adja fordított sorrendben. Ennek oka, hogy cos α = sin (90° − α). A levezetésük a nevezetes szögfüggvények oldalon van, a teljes, ötfokonkénti listát pedig a szögfüggvények táblázata tartalmazza.

Szögfüggvények 90° fölött: az egységkör

A derékszögű háromszöges definíció csak 0° és 90° között működik. Tompaszögnek is van azonban szinusza – ehhez kell az egységkör: egy origó középpontú, 1 sugarú kör, amelyen a szög szárának végpontja mozog. A pont első koordinátája a koszinusz, a második a szinusz.

Egységkörben a szög szárának végpontja adja az értékeket: a vízszintes koordináta a koszinusz, a függőleges a szinusz. 140°-nál a koszinusz negatív, a szinusz pozitív.

0° és 90° között mindkét érték pozitív – ez a derékszögű háromszöges eset.
90° és 180° között a szinusz még pozitív, a koszinusz viszont már negatív: cos 140° = -0,7660.
Két hasznos összefüggés: sin (180° − α) = sin α, és cos (180° − α) = -cos α. Például sin 140° = sin 40° = 0,6428.

Erre a kiterjesztésre azért van szükség, mert a szinusztétel és a koszinusztétel tompaszögű háromszögekre is működik.

Mire jók a szögfüggvények a gyakorlatban?

Minden olyan feladatban, ahol a távolságot nem lehet közvetlenül megmérni, de a szöget igen: toronymagasság árnyékból, lejtő emelkedése, tetőgerinc hossza, létra dőlése.

Kidolgozott példa · Torony árnyéka: 24 m hosszú, a nap 34°-os szög alatt süt

Milyen magas a torony?

A torony és az árnyéka derékszögű háromszöget alkot, a 34°-os szög az árnyék végénél van. A magasság a szöggel szemközti, az árnyék a szög melletti befogó – ez a tangens esete:tg 34° = m24
Átrendezve:m = 24 · tg 34° = 24 · 0,6745
Vagyis:m = 16,19 m

EredményA torony 16,19 m magas.

Ha nem derékszögű a háromszög, a szögfüggvények akkor is használhatók: a területképlet T = a · b · sin γ2 alakja is közvetlenül belőlük származik, lásd a háromszög területe szinusszal oldalt.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszögben az átfogó 20 cm, a szemközti befogó 12 cm. Mekkora a szög szinusza?

sin α = 1220 = 0,6, ebből α = 36,87°.

Lehet-e egy szög szinusza 1,4?

Nem. A szinusz értéke -1 és 1 közé esik, mert a befogó nem lehet hosszabb az átfogónál. Ha ilyen jön ki, elszámoltál valamit – tipikusan felcserélted a számlálót és a nevezőt.

Miért egyenlő sin 30° és cos 60°?

Mert ugyanannak a derékszögű háromszögnek a két hegyesszöge 30° és 60°, és ami az egyik szögnek szemközti befogója, az a másiknak melletti. Általánosan: sin α = cos (90° − α).

Gyakori kérdések

Mi a szögfüggvények képlete?

Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre: sin α = ac (szemközti befogó osztva az átfogóval), cos α = bc (melletti befogó osztva az átfogóval), tg α = ab (a két befogó hányadosa).

Hogyan számolok szögfüggvényt derékszögű háromszögben?

Jelöld ki, melyik hegyesszögről van szó, majd nevezd el hozzá a három oldalt: szemközti befogó, melletti befogó, átfogó. Ezután írd fel azt a függvényt, amelyben az ismert és a keresett oldal szerepel, és rendezd át az egyenletet.

Mikor melyik szögfüggvényt kell használni?

Ha az átfogó szerepel a feladatban a szemközti befogóval, szinusz kell; ha az átfogó a melletti befogóval, koszinusz; ha csak a két befogó, tangens. Az átfogó tehát dönt: ha nincs benne a feladatban, tangenssel dolgozol.

Hogyan kapom vissza a szöget az arányból?

Inverz szögfüggvénnyel: a számológép sin^-1, cos^-1, tg^-1 gombjával (általában SHIFT vagy 2nd után). Például ha tg α = 1,8, akkor α = 60,95°.

Mennyi sin 30, sin 45 és sin 60 pontos értéke?

sin 30° = 12, sin 45° = √22 ~ 0,7071, sin 60° = √32 ~ 0,8660. A koszinuszok ugyanezek fordított sorrendben: cos 30° = √32, cos 45° = √22, cos 60° = 12.

Miért ad rossz eredményt a számológépem?

Szinte biztosan radián módban van. Keresd a DRG vagy MODE gombot, és állítsd DEG (fok) állásba – a kijelzőn ekkor D vagy DEG jelenik meg. Ellenőrzésnek üsd be a sin 30°-ot: pontosan 0,5-nek kell kijönnie.