A kör
A körcikk területe
A körcikk a kör „tortaszelete”. Területe a teljes körterület akkora hányada, amekkora hányada a középponti szög a 360°-nak – innen minden más levezethető.
Röviden a válasz
A körcikk területe a teljes kör területének az a része, amekkora hányada a középponti szög a teljes szögnek: T = r2 · π · α360°.
Ha nem a szöget, hanem az ívhosszt ismered, még rövidebb az út: T = i · r2 – ugyanaz, mint a háromszög területképlete, csak az „alap” helyén a körív áll.
Körcikk-kalkulátor
Add meg a sugarat és mellé a középponti szöget vagy az ívhosszt – a terület és a hiányzó adat is kijön.
Add meg a sugarat és a középponti szöget – az ívhossz és a körcikk területe azonnal kijön.
- Beírt kör sugara r
- –
- Szög
- –
- Ívhossz
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Húr
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A körcikk területének képlete
A képlet mögött egyszerű arányosság áll: a 360°-hoz tartozik a teljes r2 · π terület, tehát 1 fokhoz ennek a 360-ad része, α fokhoz pedig α-szor ennyi. Ugyanez az arány működik az ívhossznál is, csak ott a kerületből indulsz.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · r = 9 cm, α = 120°
Mekkora a körcikk területe és ívhossza? π ≈ 3,14.
- A 120° a teljes szög harmada, ezért a körcikk a kör harmada:α360° = 120360 = 13
- A teljes kör területe:r2 · π = 81 · 3,14 = 254,34 cm2
- Ennek a harmada a körcikk területe:T = 254,343 = 84,78 cm2
- Az ívhossz a kerület harmada:i = 2 · 9 · 3,143 = 56,523 = 18,84 cm
EredményT = 84,78 cm², i = 18,84 cm
Kidolgozott példa · Ívhosszból: r = 10 cm, i = 25 cm
Egy körcikk sugara 10 cm, az íve 25 cm hosszú. Mekkora a területe?
- Szög nélkül is megy, az ívhosszas alakkal:T = i · r2
- Behelyettesítve:T = 25 · 102 = 2502
- Az eredmény:T = 125 cm2
EredményT = 125 cm²
Ha a szög is kell, az ívhosszból visszafelé megkapod: α = i2 · r · π · 360° = 2562,8 · 360° ≈ 143,3°. Az ívhossz önálló számításáról a körív hossza oldalon írunk részletesen.
Kidolgozott példa · Visszafelé: r = 20 cm, T = 157 cm²
Mekkora a körcikk középponti szöge?
- Számold ki a teljes kör területét:r2 · π = 400 · 3,14 = 1256 cm2
- Nézd meg, hányad része ennek a körcikk:1571256 = 0,125 = 18
- A 360° nyolcada:α = 360°8 = 45°
Eredményα = 45°
Gyakori középponti szögek
| α középponti szög | A kör hányada | Terület |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 rész | T = r2 · π12 |
| 45° | 1/8 rész | T = r2 · π8 |
| 60° | 1/6 rész | T = r2 · π6 |
| 90° | negyed kör | T = r2 · π4 |
| 120° | harmad kör | T = r2 · π3 |
| 180° | félkör | T = r2 · π2 |
Ha a szöget radiánban kapod, a képlet még egyszerűbb: T = r2 · α2, és itt nem kell osztani 360-nal. Az átváltásról a radián–fok átváltás oldalon olvashatsz. A teljes kör területéhez pedig lásd a kör területe oldalt.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a 12 cm sugarú kör 30°-os körcikkének területe?
Egy körcikk területe a kör területének a hatoda. Mekkora a középponti szöge?
Mi a körcikk kerülete?
Gyakori kérdések
Mi a körcikk területének képlete?
T = r2 · π · α360°, ahol α a középponti szög fokban. Ha az ívhossz ismert, akkor T = i · r2 is használható.
Hogyan számolom ki a körív hosszát és a körcikk területét együtt?
Mindkettő ugyanazzal az aránnyal dolgozik. Az ív: i = 2 · r · π · α360°, a terület: T = r2 · π · α360°. Ha megvan az ív, a terület egy szorzás: T = i · r2.
Mi a különbség a körcikk és a körszelet között?
A körcikket két sugár és a köztük lévő ív határolja (tortaszelet alak). A körszeletet egy húr és az ív. A körszelet területe a körcikk területe mínusz a középponti háromszög területe.
Hogyan kapom meg a középponti szöget a területből?
Oszd el a körcikk területét a teljes kör területével, és szorozd az arányt 360°-kal: α = Tr2 · π · 360°.
Mi a képlet, ha a szög radiánban van?
Radiánban T = r2 · α2 és i = r · α. Ilyenkor nincs 360-nal osztás, mert a radián már eleve a sugárhoz viszonyított ívhosszt jelenti.