Szögfüggvények
Koszinusztétel
Ez az a tétel, amely ott lép be, ahol a szinusztétel elakad: ha nincs teljes oldal–szög párod. Egyben a Pitagorasz-tétel általánosítása minden háromszögre.
Röviden a válasz
A koszinusztétel szerint bármely háromszögben c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ, ahol γ a c oldallal szemközti szög. Átrendezve három oldalból szöget is ad: cos γ = a2 + b2 − c22 · a · b.
Két esetben ez az egyetlen használható eszköz: ha két oldal és a közbezárt szög ismert, illetve ha mindhárom oldal adott, de egy szög sem.
Koszinusztétel-kalkulátor
Írj be két oldalt és a közbezárt szöget – vagy mindhárom oldalt, és megkapod a szögeket.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A koszinusztétel képlete
A képlet mindhárom oldalra felírható, csak ciklikusan cserélni kell a betűket: a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α és b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β. A szabály egyszerű: a magában álló oldal és a koszinuszban szereplő szög mindig szemközti pár.
Harmadik oldal két oldalból és a közbezárt szögből
Ez a klasszikus eset: két oldal és a köztük lévő szög adott. A szinusztétel itt tehetetlen, mert egyetlen szemközti párt sem tudsz felírni.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 15 cm, γ = 60°
Mekkora a két oldal által közbezárt szöggel szemközti c oldal?
- Írd fel a tételt a keresett oldalra:c2 = 72 + 152 − 2 · 7 · 15 · cos 60°
- A négyzetek és a szorzat:c2 = 49 + 225 − 210 · 0,5
- Összevonva:c2 = 274 − 105 = 169
- Gyököt vonva:c = √169 = 13 cm
Eredményc = 13 cm
Szög kiszámítása három oldalból
Ha csak az oldalak ismertek, a tétel átrendezett alakja adja a koszinuszt, abból inverz koszinusszal (cos-1) jön a szög. Érdemes a leghosszabb oldallal szemközti szöggel kezdeni: ha az hegyesszög, a másik kettő is biztosan az.
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 9 cm, c = 11 cm
Mekkora a leghosszabb oldallal szemközti γ szög?
- Az átrendezett képlet:cos γ = a2 + b2 − c22 · a · b
- Behelyettesítve:cos γ = 36 + 81 − 1212 · 6 · 9 = -4108
- Vagyis:cos γ = -0,0370
- Inverz koszinusszal:γ = cos-1 (-0,0370) = 92,12°
Eredményγ = 92,12° – a háromszög tompaszögű.
| A számláló | cos γ | A γ szög |
|---|---|---|
| a2 + b2 > c2 | pozitív | hegyesszög |
| a2 + b2 = c2 | nulla | derékszög (Pitagorasz) |
| a2 + b2 < c2 | negatív | tompaszög |
Ez a táblázat egyben a Pitagorasz-tétel megfordításának élesített változata: nemcsak azt mondja meg, derékszögű-e a háromszög, hanem azt is, melyik irányba tér el tőle.
Hogyan folytasd a feladatot?
A koszinusztétellel általában csak elindulsz: ha megvan a harmadik oldal vagy az első szög, a maradék adatokat már gyorsabb a szinusztétellel kiszámolni. Egy tanács a sorrendhez: a szinusztétellel utána a rövidebb oldallal szemközti szöget keresd, mert az biztosan hegyesszög, így nincs kétértelműség.
Gyors önellenőrzés
Két út 8 km és 5 km hosszú, és 120°-os szöget zárnak be. Milyen messze van egymástól a két végpont?
Miért nem használható a szinusztétel, ha két oldal és a közbezárt szög adott?
Gyakori kérdések
Mi a koszinusztétel képlete?
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ, ahol γ a c oldallal szemközti szög. Szögre rendezve: cos γ = a2 + b2 − c22 · a · b.
Mikor használjam a koszinusztételt?
Két esetben: ha két oldal és a közbezárt szög ismert (és a harmadik oldalt keresed), illetve ha mindhárom oldal adott (és szöget keresel). Minden más esetben a szinusztétel gyorsabb.
Mit jelent, ha negatív koszinusz jön ki?
Azt, hogy a keresett szög tompaszög, vagyis 90°-nál nagyobb. A számológép inverz koszinusza negatív értékből is helyes, 90° és 180° közötti szöget ad – ellentétben az inverz szinusszal, amely mindig hegyesszöget mutat.
Hogyan függ össze a koszinusztétel a Pitagorasz-tétellel?
Derékszög esetén cos 90° = 0, így a -2 · a · b · cos γ tag eltűnik, és marad c2 = a2 + b2. A koszinusztétel tehát a Pitagorasz-tétel kiterjesztése tetszőleges háromszögre.
Lehet-e a koszinusztételnek két megoldása?
Nem. A koszinusz 0° és 180° között minden értéket pontosan egyszer vesz fel, ezért a kapott szög egyértelmű. Éppen ezért biztonságosabb szögszámításnál a koszinusztétellel kezdeni.