Szinusztétel – képlet, feladatok, kalkulátor

Q: Mi a szinusztétel képlete?

(a)/(sin α) = (b)/(sin β) = (c)/(sin γ) = 2R. Minden oldal a vele szemközti szög szinuszával áll párban, a közös hányados pedig a köré írt kör átmérője.

Szinusztétel-kalkulátor

Adj meg egy oldalt és két szöget (vagy két oldalt és egy szemközti szöget) – a hiányzó adatok azonnal megjelennek.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mit mond a szinusztétel?

Szinusztételasin α = bsin β = csin γ = 2RMinden oldal a vele szemközti szög szinuszával kerül párba: a az α-val, b a β-val, c a γ-val.

A tétel lényege egy arányosság: nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal áll, méghozzá pontosan a szögek szinuszának arányában. A gyakorlatban mindig csak két tagot használsz a láncból, például asin α = bsin β, és ebből az egy egyenletből fejezed ki az ismeretlent.

A legrövidebb oldallal szemben van a legkisebb szög. A szinusztétel ezt a kapcsolatot teszi számolhatóvá.

Mikor használd – és mikor ne

A döntés egyetlen kérdésen múlik: van-e teljes oldal–szemközti szög párod? Ha igen, szinusztétel. Ha nincs, koszinusztétel.

Melyik tételt válaszd?
Amit ismersz	Melyik tétel	Miért
Két szög és egy oldal	szinusztétel	A harmadik szög 180°-ból megvan, onnan minden oldal egy aránypár.
Két oldal és az egyikkel szemközti szög	szinusztétel	Kész a pár – de vigyázz, itt lehet két megoldás.
Két oldal és a közbezárt szög	koszinusztétel	Nincs teljes pár, a szinusztétel egyenlete két ismeretlent tartalmazna.
Mindhárom oldal	koszinusztétel	Szög egyáltalán nem ismert, nincs mihez arányítani.

Hiányzó oldal kiszámítása

Ez a legegyszerűbb eset: két szög és egy oldal. A harmadik szöget a belső szögek összegéből kapod, utána már csak behelyettesítesz.

Kidolgozott példa · a = 12 cm, α = 47°, β = 63°

Mekkora a b és a c oldal?

A harmadik szög a 180°-os összegből:γ = 180° − 47° − 63° = 70°
A b oldalra felírt aránypár:bsin 63° = 12sin 47°
Átrendezve és behelyettesítve:b = 12 · sin 63°sin 47° = 12 · 0,89100,7314
Vagyis:b = 14,62 cm
Ugyanígy a c oldal:c = 12 · sin 70°sin 47° = 12 · 0,93970,7314 = 15,42 cm

Eredményb = 14,62 cm, c = 15,42 cm

Hiányzó szög kiszámítása – a két megoldás csapdája

Ha két oldal és az egyikkel szemközti szög adott, a szinusztétel a keresett szög szinuszát adja meg. Csakhogy egy szinuszértékhez 0° és 180° között két szög tartozik: β és 180° − β. Mindkettőt meg kell vizsgálni.

Kidolgozott példa · a = 10 cm, b = 14 cm, α = 35°

Mekkora a β szög?

Aránypár a két ismert oldalra:10sin 35° = 14sin β
Kifejezve a keresett szinuszt:sin β = 14 · sin 35°10 = 14 · 0,573610 = 0,8030
Az inverz szinusz az egyik megoldást adja:β₁ = 53,42°
A másik lehetőség a kiegészítő szög:β₂ = 180° − 53,42° = 126,58°
Mindkettő megengedett, mert a harmadik szög is pozitív marad:γ₁ = 91,58° és γ₂ = 18,42°

EredményKét háromszög is megfelel: β = 53,42° (c = 17,43 cm) vagy β = 126,58° (c = 5,51 cm).

A köré írt kör sugara

A tétel harmadik tagja, a 2R sokszor kimarad a tanulásból, pedig ingyen ad egy egész feladattípust: a köré írt kör sugarát egyetlen oldal–szög párból megkapod.

Kidolgozott példa · a = 12 cm, α = 47°

Mekkora a háromszög köré írt kör sugara?

A szinusztétel kiterjesztett alakja:asin α = 2R
Behelyettesítve:2R = 12sin 47° = 120,7314 = 16,41 cm
Innen a sugár:R = 8,20 cm

EredményR = 8,20 cm

Derékszögű háromszögben ebből azonnal adódik a Thalész-tétel következménye: γ = 90° esetén 2R = csin 90° = c, vagyis az átfogó a köré írt kör átmérője. Erről bővebben a háromszög köré írt kör sugara oldalon olvashatsz.

Miért igaz a szinusztétel?

A bizonyítás három lépésben

Húzd be a magasságotA C csúcsból bocsáss merőlegest a c oldalra. Így két derékszögű háromszög keletkezik, közös m_c befogóval.
Írd fel a magasságot kétféleképpenA bal oldali részháromszögből m_c = b · sin α, a jobb oldaliból m_c = a · sin β.
Tedd egyenlővéA két kifejezés ugyanaz a szakasz: b · sin α = a · sin β. Elosztva sin α · sin β-val épp asin α = bsin β adódik. A harmadik taghoz ugyanezt egy másik magassággal ismételd meg.

A bizonyítás tompaszögű háromszögre is működik, csak ott a magasság talppontja az oldal meghosszabbítására esik, és a sin (180° − α) = sin α azonosságot használjuk – ezért nem változik semmi a képletben.

Gyors önellenőrzés

Egy háromszögben α = 40°, β = 75° és a = 9 cm. Melyik tételt használod, és mennyi b?

Szinusztételt, mert kész oldal–szemközti szög párod van: b = 9 · sin 75°sin 40° = 9 · 0,96590,6428 = 13,52 cm.

Adott a = 8 cm, b = 6 cm és α = 50°. Lehet-e két megoldás?

Nem. A keresett β szöggel szemközti oldal (b = 6 cm) a rövidebb, tehát β biztosan hegyesszög: sin β = 6 · sin 50°8 = 0,5745, vagyis β = 35,07°.

Mit jelent a képletben a 2R?

A háromszög köré írt kör átmérőjét. Ezért igaz, hogy azonos köré írt körű háromszögekben ugyanakkora szöghöz ugyanakkora húr tartozik – ez a kerületi szögek tétele számokban.

Gyakori kérdések

Mi a szinusztétel képlete?

asin α = bsin β = csin γ = 2R. Minden oldal a vele szemközti szög szinuszával áll párban, a közös hányados pedig a köré írt kör átmérője.

Mikor kell szinusztételt és mikor koszinusztételt használni?

Ha van teljes oldal–szemközti szög párod (két szög és egy oldal, vagy két oldal és az egyikkel szemközti szög), szinusztétel kell. Ha két oldal és a közbezárt szög, vagy mindhárom oldal ismert, koszinusztétellel indulj.

Miért lehet két megoldása egy szinusztételes feladatnak?

Mert a szinusz 0° és 180° között kétszer veszi fel ugyanazt az értéket: sin 53,42° = sin 126,58° = 0,8030. Ha a keresett szöggel szemközti oldal a hosszabb, mindkét eset szerkeszthető háromszöget ad, tehát mindkettőt fel kell írni válaszként.

Használható-e a szinusztétel derékszögű háromszögben?

Igen, de fölösleges. Ha γ = 90°, akkor sin γ = 1, és a tétel visszaadja a sin α = ac definíciót. Derékszögű háromszögben egyszerűbb közvetlenül a szögfüggvényekkel dolgozni.

Hogyan számolok szöget szinusztétellel?

Rendezd az egyenletet a keresett szög szinuszára – például sin β = b · sin αa –, majd inverz szinusszal vedd a szöget. Ellenőrizd, hogy a 180°-ból kivont érték is ad-e érvényes háromszöget.

Mit tegyek, ha a szinuszra 1-nél nagyobb érték jön ki?

Akkor a megadott adatokból nem szerkeszthető háromszög – a feladat ellentmondásos, vagy elgépeltél valamit. Ilyenkor nincs megoldás, és ezt is le kell írni válaszként.