Háromszögfajták
Középpontosan szimmetrikus háromszög
A kérdésre a válasz egy határozott nem – de a mögötte lévő gondolat épp a háromszög területképletét magyarázza meg.
Röviden a válasz
Egyetlen háromszög sem középpontosan szimmetrikus. A középpontos tükrözés a csúcsokat csúcsokba viszi, és páronként cseréli őket – három csúcsot viszont nem lehet párokba rendezni, mert a 3 páratlan szám.
Ha egy háromszöget mégis tükrözöl egy pontra – például az egyik oldalának a felezőpontjára –, akkor a kép és az eredeti együtt egy paralelogrammát ad ki. Ez a paralelogramma már középpontosan szimmetrikus, és pont ebből következik a T = a · m2 területképlet.
Mit jelent a középpontos szimmetria?
Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan O pont, amelyre tükrözve önmagába megy át. A középpontos tükrözés minden P ponthoz azt a P′ pontot rendeli, amelyre O a PP′ szakasz felezőpontja. Ez ugyanaz, mint egy 180°-os elforgatás O körül.
Középpontosan szimmetrikus például a paralelogramma (így a téglalap, a rombusz és a négyzet is), a kör, valamint minden páros oldalszámú szabályos sokszög. A szabályos ötszög például már nem az, és a háromszög sem.
Miért nem lehet háromszög középpontosan szimmetrikus?
A bizonyítás rövid, és pusztán a csúcsok megszámolásán múlik.
- A középpontos tükrözés egybevágóság: ha az alakzatot önmagába viszi, akkor a csúcsokat csúcsokba kell vinnie. Egy háromszögnek pontosan 3 csúcsa van.
- A tükrözésnek egyetlen fixpontja van, maga az O középpont. Ha O csúcs volna, akkor O-ból két olyan oldal indulna, amelyeknek egymás képének kellene lenniük – ezek viszont egy egyenesbe esnének, és nem maradna háromszög.
- Tehát egyik csúcs sem fix: mindegyik egy másik csúcsba megy át, méghozzá kölcsönösen (ha A képe B, akkor B képe A).
- Így a csúcsok kétesével párokba rendeződnének, vagyis a számuknak párosnak kellene lennie. A 3 viszont páratlan – ellentmondás.
Van egy másik, szemléletes indok is. A középpontos tükrözés minden szakaszt vele párhuzamos, egyenlő hosszú szakaszba visz. Ha a háromszög önmagába menne át, minden oldalának lenne egy vele párhuzamos és egyenlő hosszú „párja" a háromszögben – háromszögben viszont semelyik két oldal nem párhuzamos.
Mi lesz, ha mégis tükrözünk egy pontra?
Ez a legérdekesebb rész, és a matekórán is előkerül. Tükrözd a C csúcsot az AB oldal F felezőpontjára. A kapott C′ ponttal az ACBC′ négyszög paralelogramma lesz, hiszen az átlói (AB és CC′) felezik egymást. Ez a paralelogramma már középpontosan szimmetrikus, a középpontja épp F.
Kidolgozott példa · A(1; 5), B(9; 7), C(3; 1)
Tükrözd a C csúcsot az AB oldal felezőpontjára, és számold ki a keletkező paralelogramma területét!
- Az AB oldal felezőpontja a koordináták átlaga:F = (1 + 92; 5 + 72) = (5; 6)
- A tükörkép abból adódik, hogy F felezi a CC′ szakaszt, tehát C′ = 2F − C:C′ = (2 · 5 − 3; 2 · 6 − 1) = (7; 11)
- A háromszög területe a két oldalvektorból, AB = (8; 2) és AC = (2; -4). A keresztszorzat abszolút értékének a fele kell:8 · (-4) − 2 · 2 = -36 → T = 362 = 18
- A paralelogramma két ilyen háromszögből áll, tehát a területe:2 · 18 = 36
EredményC′(7; 11), a háromszög területe 18 területegység, a paralelogrammáé 36.
Akkor milyen szimmetriája van a háromszögnek?
Tengelyes. Az egyenlő szárú háromszögnek egy szimmetriatengelye van (az alap felező merőlegese), a szabályos háromszögnek három, az általánosnak pedig egy sem. A szabályos háromszög ráadásul forgásszimmetrikus is: 120°-kal elforgatva önmagába megy át – de 180°-kal soha. Erről bővebben a szimmetrikus háromszög oldalon olvashatsz.
| Alakzat | Középpontosan szimmetrikus? | Miért |
|---|---|---|
| Bármelyik háromszög | nem | páratlan sok csúcs, nincs párhuzamos oldalpár |
| Paralelogramma, téglalap, rombusz | igen | az átlók metszéspontja a középpont |
| Trapéz (nem paralelogramma) | nem | csak egy párhuzamos oldalpárja van, és azok nem egyenlő hosszúak |
| Kör | igen | a kör középpontja |
| Szabályos ötszög | nem | páratlan sok csúcs |
| Szabályos hatszög | igen | a szemközti csúcsok párokba állnak |
Gyakori kérdések
Van középpontosan szimmetrikus háromszög?
Nincs. A középpontos tükrözés a csúcsokat párokba rendezné, három csúcsot viszont nem lehet maradék nélkül párokba osztani. Ugyanezért egyetlen páratlan oldalszámú sokszög sem középpontosan szimmetrikus.
A szabályos háromszög sem középpontosan szimmetrikus?
Az sem. A szabályos háromszögnek három szimmetriatengelye van, és 120°-os forgásszimmetriája, de 180°-os elforgatásra nem megy át önmagába – márpedig a középpontos tükrözés épp 180°-os forgatás.
Mi a különbség a tengelyes és a középpontos szimmetria között?
A tengelyes szimmetriánál egy egyenesre tükrözünk, és a körüljárási irány megfordul. A középpontos szimmetriánál egy pontra tükrözünk (ez 180°-os forgatás), és a körüljárási irány megmarad. Háromszögnek lehet szimmetriatengelye, szimmetriaközéppontja viszont soha.
A háromszög súlypontja szimmetriaközéppont?
Nem. A súlypont a három súlyvonal metszéspontja, és minden háromszögnek van ilyen pontja – de rá tükrözve a háromszög nem megy át önmagába, hanem egy ellentétes állású háromszögbe.
Mit kapok, ha a háromszöget az egyik oldala felezőpontjára tükrözöm?
Paralelogrammát: az eredeti és a tükörkép együtt egy paralelogrammát ad ki, amelynek középpontja épp az a felezőpont. Ez a szerkesztés mutatja meg, miért fele akkora a háromszög területe, mint az azonos alapú és magasságú paralelogrammáé.