Szimmetrikus háromszög – hány tengelye van?

Szimmetriatengely-kalkulátor

A szimmetrikus háromszög tengelye ugyanaz, mint az alaphoz tartozó magasság. Add meg az alapot és a szárat – a beállított 14 és 25 cm pontosan 24 cm-es tengelyt ad.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
Felszín: –
β szög: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mikor szimmetrikus egy háromszög?

A szimmetria a tükrözésről szól: az alakzat akkor szimmetrikus egy egyenesre, ha arra tükrözve önmagát kapjuk vissza. Háromszögnél ez csak úgy lehetséges, ha a tengely az egyik csúcson megy át, a másik két csúcsot pedig egymásba viszi. Ez a két csúcs egyenlő távol van a tengelyen lévő csúcstól – vagyis a háromszögnek két egyenlő oldala van.

Ezért esik egybe a „szimmetrikus háromszög" és az „egyenlő szárú háromszög" fogalma. A tankönyvek egy része a szimmetria felől vezeti be a fogalmat (innen a tükrös háromszög elnevezés is), másik része az oldalak felől – ugyanarról az alakzatról van szó.

A háromszögek szimmetrialeltára
Háromszög	Szimmetriatengelyek	Forgásszimmetria	Szimmetriaközéppont
Általános (három különböző oldal)	0	nincs	nincs
Egyenlő szárú	1 (az alap felező merőlegese)	nincs	nincs
Egyenlő szárú derékszögű	1	nincs	nincs
Szabályos (egyenlő oldalú)	3	120° és 240°	nincs

Egyenlő szárú: egyetlen tengely, az alap felező merőlegese.

Szabályos: mindhárom magasságvonala szimmetriatengely.

Mit tud a szimmetriatengely?

A szimmetrikus háromszögben a tengely négy nevezetes vonal egyszerre, és ez teszi ilyen hasznossá a feladatokban:

az alaphoz tartozó magasság (merőleges az alapra),
az alaphoz tartozó súlyvonal (felezi az alapot),
a szárszög szögfelezője,
az alap felező merőlegese.

Ebből következik, hogy a súlypont, a magasságpont, a beírt és a köré írt kör középpontja is mind a tengelyre esik. A tükrözés miatt a két alapon fekvő szög egyenlő – ez a szimmetria legfontosabb számolható következménye.

Kidolgozott példa · Alap 14 cm, szárak 25 cm

Mekkora a szimmetriatengely hossza, a terület és a szögek?

A tengely felezi az alapot, így egy 7 cm-es befogójú derékszögű háromszög keletkezik. Pitagorasz-tétellel:m = √25² − 7² = √625 − 49 = √576 = 24 cm
A terület az alapból és a tengely hosszából:T = 14 · 242 = 168 cm²
Az alapon fekvő szög a derékszögű részháromszögből:cos β = 725 = 0,28 → β = 73,74°
A szárszög a maradék:α = 180° − 2 · 73,74° = 32,52°

EredményA tengely 24 cm, a terület 168 cm², a szögek 73,74°, 73,74° és 32,52°.

Hogyan döntsd el az adatokból?

Három oldalból: ha van köztük két egyenlő, szimmetrikus. Például a 6 – 9 – 9 cm igen, a 6 – 8 – 9 cm nem.
Szögekből: ha két szöge egyenlő, a háromszög szimmetrikus, mert egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak állnak. A 40° – 70° – 70° tehát szimmetrikus.
Koordinátákból: számold ki a három oldal hosszát a távolságképlettel, és nézd meg, van-e két egyenlő. Az A(0; 0), B(8; 0), C(4; 6) háromszög szimmetrikus, tengelye az x = 4 egyenes.

A tengelyre és a rá épülő területszámításra a tengelyesen szimmetrikus háromszög oldal tér ki részletesen, a névhasználatot pedig a tükrös háromszög oldalon bogozzuk ki.

Szimmetrikus háromszög szerkesztése

Alapból és szárból, három lépésben

Rajzold meg az alapot, majd szerkeszd meg a felező merőlegesét – ez lesz a szimmetriatengely.
Nyisd a körzőt a szár hosszára, szúrj bele az alap egyik végpontjába, és metszd el vele a tengelyt.
A metszéspont a harmadik csúcs; kösd össze az alap két végpontjával.

Azért a tengellyel érdemes kezdeni, mert így a szimmetria a szerkesztésbe van beépítve: a két szár egyenlő hossza automatikusan adódik. A teljes menetet a tükrös háromszög szerkesztése oldalon lépésről lépésre végigvezetjük.

Gyors önellenőrzés

Hány szimmetriatengelye van egy 5 – 5 – 8 cm oldalú háromszögnek?

Egy: a 8 cm-es alap felező merőlegese. (A háromszög létezik is, hiszen 5 + 5 = 10 > 8.)

Van-e olyan háromszög, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van?

Nincs. Két tengelyből azonnal következik, hogy mindhárom oldal egyenlő, és akkor a harmadik tengely is meglenne.

Szimmetrikus-e a derékszögű háromszög?

Csak akkor, ha egyenlő szárú, vagyis ha a két befogója egyenlő (a szögei ilyenkor 90°, 45°, 45°). A 3 – 4 – 5 arányú derékszögű háromszögnek például nincs szimmetriatengelye.

Gyakori kérdések

Mi a szimmetrikus háromszög?

Olyan háromszög, amely legalább egy egyenesre tükrözve önmagába megy át. Ez pontosan akkor teljesül, ha két oldala egyenlő hosszú, tehát a szimmetrikus háromszög mindig egyenlő szárú.

Hány szimmetriatengelye van egy háromszögnek?

Az általánosnak nulla, az egyenlő szárúnak egy, a szabályosnak három. Kettő nem lehetséges, mert két tengely már kikényszerítené a harmadikat is.

Ugyanaz a tengelyesen és a középpontosan szimmetrikus háromszög?

Nem. Tengelyesen szimmetrikus háromszög van (minden egyenlő szárú ilyen), középpontosan szimmetrikus viszont egy sincs: ehhez a csúcsoknak párokba kellene állniuk, három csúcsot pedig nem lehet párokba osztani.

Hogyan szerkesztek szimmetrikus háromszöget?

Rajzold meg az alapot, szerkeszd meg a felező merőlegesét, majd a szár hosszára nyitott körzővel az alap egyik végpontjából metszd el ezt az egyenest. A metszéspont a csúcs, a felező merőleges pedig a szimmetriatengely.

Honnan tudom három szögből, hogy szimmetrikus-e a háromszög?

Ha két szög egyenlő, a háromszög szimmetrikus, mert egyenlő szögekkel szemben egyenlő oldalak állnak. A 40° – 70° – 70° szimmetrikus, a 40° – 60° – 80° nem.