Másodfokú egyenlet szöveges feladatok megoldással

Ellenőrizd a felírt egyenletedet

Rendezd nulla alakra a szövegből kapott egyenletet, és írd be az együtthatókat. A példánk az x² + 4x − 96 = 0 téglalapos feladat.

azonnal számol

Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.

Példa:

Diszkrimináns D: –
x₁ gyök: –
x₂ gyök: –
Csúcspont x: –
Csúcspont y: –
Gyökök összege: –
Gyökök szorzata: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A négy lépés, ami minden szöveges feladatra működik

1. JelöljÍrd le egy mondatban, mit jelent az x: „Legyen x a téglalap szélessége méterben.” Ha ez hiányzik, a dolgozatban is levonás jár érte.
2. Fejezz ki mindent x-szelA többi mennyiséget is x-szel írd fel: a nála 4-gyel nagyobb oldal x + 4, a következő egész szám x + 1, a megnövelt sebesség x + 5.
3. Írd fel az egyenletetA szöveg egyetlen mondata mondja meg, mi egyenlő mivel: „a területe 96”, „a négyzetösszegük 313”, „egy órával hamarabb ér oda”.
4. Oldd meg és szűrdRendezz nulla alakra, számolj diszkriminánst, majd mindkét gyököt vesd össze a szöveggel. Végül mondattal válaszolj.

Geometriai feladat: terület és oldalak

Kidolgozott példa · A kert területe 96 m², a hossza 4 m-rel nagyobb a szélességénél

Mekkorák a téglalap alakú kert oldalai?

Legyen x a szélesség méterben, akkor a hosszúság x + 4. A terület:x · (x + 4) = 96
Bontsd fel és rendezd nulla alakra:x² + 4x − 96 = 0
Diszkrimináns:D = 4² − 4 · 1 · (-96) = 16 + 384 = 400
A 400 gyöke 20:x_1,2 = -4 ± 202
A két gyök:x₁ = 8, x₂ = -12
A -12 nem lehet oldalhossz, ezért elvetjük. Ellenőrzés:8 · 12 = 96 m²

EredményA kert 8 m széles és 12 m hosszú.

A megoldás ábrán: a 8 m × 12 m-es kert területe 96 m², és a hosszabb oldal tényleg 4 m-rel nagyobb.

Számos feladat: egymást követő egészek

Kidolgozott példa · Két egymást követő pozitív egész szám négyzetösszege 313

Melyik ez a két szám?

Legyen a kisebbik x, akkor a nagyobbik x + 1:x² + (x + 1)² = 313
Bontsd fel a zárójelet és vond össze:2x² + 2x + 1 = 313
Rendezz nulla alakra, majd oszd az egyenletet 2-vel:x² + x − 156 = 0
Diszkrimináns:D = 1 + 624 = 625, √D = 25
A gyökök:x₁ = -1 + 252 = 12, x₂ = -1 − 252 = -13
A feladat pozitív számokat kér, ezért x = 12. Ellenőrzés:12² + 13² = 144 + 169 = 313

EredményA két szám a 12 és a 13.

Sebességes feladat: itt tört keletkezik

Kidolgozott példa · Egy kerékpáros 60 km-t tesz meg; 5 km/h-val gyorsabban 1 órával hamarabb érne oda

Mekkora a kerékpáros sebessége?

Legyen x a sebesség km/h-ban. A menetidő a távolság osztva a sebességgel:60x − 60x + 5 = 1
Szorozz be a közös nevezővel, x · (x + 5)-tel (x > 0, tehát szabad):60 · (x + 5) − 60 · x = x · (x + 5)
A bal oldal összevonva 300:300 = x² + 5x
Nulla alak és diszkrimináns:x² + 5x − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225
A 1225 gyöke 35:x₁ = -5 + 352 = 15, x₂ = -20
A negatív sebesség kiesik. Ellenőrzés:6015 = 4 óra, 6020 = 3 óra → a különbség 1 óra

EredményA kerékpáros sebessége 15 km/h.

Szótár: a szöveg szavai egyenletté

Tipikus fordulatok és a matematikai megfelelőjük
A szövegben	Az egyenletben
egy szám	x
a nála 4-gyel nagyobb szám	x + 4
a kétszerese	2x
a négyzete	x²
a reciproka	1x
két egymást követő egész szám	x és x + 1
a szorzatuk 96	x · (x + 4) = 96
a négyzetösszegük 313	x² + (x+1)² = 313
a menetidő	útsebesség

A felírás után innentől már rutinmunka: a megoldóképlet mindkét gyököt megadja, a diszkrimináns pedig előre megmondja, hány megoldás lesz. Ha egyenletmegoldásból akarsz gyakorolni, a másodfokú egyenlet feladatok oldalon van bőven.

Gyors önellenőrzés

Egy négyzet oldalát 3 cm-rel megnövelve a területe 100 cm² lesz. Mekkora az eredeti oldal?

(x + 3)² = 100, innen x + 3 = 10 (a -10 kiesik), tehát x = 7 cm.

Két szám összege 14, szorzatuk 45. Melyek ezek?

Az egyik x, a másik 14 − x: x · (14 − x) = 45, azaz x² − 14x + 45 = 0. D = 196 − 180 = 16, így x₁ = 9, x₂ = 5. A két szám az 5 és a 9.

Miért kell mindkét gyököt megvizsgálni?

Mert az egyenlet nem ismeri a szöveg feltételeit. Egy negatív gyök algebrai szempontból tökéletes megoldás, de oldalhossznak, létszámnak vagy sebességnek értelmetlen.

Mikor lesz mindkét gyök jó megoldás?

Ha a szöveg nem zárja ki egyiket sem – például „melyik két szám ilyen” típusú feladatoknál mindkét gyök valódi válasz lehet.

Gyakori kérdések

Hogyan írok fel egy másodfokú egyenletet a szövegből?

Jelöld x-szel a keresett mennyiséget, fejezd ki vele a többit (pl. x + 4, x + 1, 60x), majd írd fel egyenletként azt az egy feltételt, amit a szöveg megad. Végül rendezz nulla alakra.

Miért kapok két megoldást, ha csak egy válasz van?

Mert a másodfokú egyenletnek két gyöke lehet, de a szöveg további feltételeket szab: az oldalhossz pozitív, a darabszám egész, a nevező nem nulla. A feltételnek nem megfelelő gyököt indoklással kell elvetni.

Mit tegyek, ha az egyenletben tört szerepel?

Írd ki a kikötést (a nevező nem lehet nulla), szorozz be a közös nevezővel, és a kapott gyököket a végén vesd össze a kikötéssel. A sebességes és munkavégzéses feladatok szinte mindig ilyenek.

Milyen szöveges feladattípusok jönnek elő leggyakrabban?

Terület- és kerületfeladatok (téglalap, négyzet), számos feladatok (egymást követő egészek, összeg és szorzat), sebességes és munkavégzéses feladatok, valamint százalékos, kamatos feladatok.

Elég, ha az egyenlet gyökét írom válasznak?

Nem. A feladat általában konkrét mennyiségeket kérdez, ezért mondattal, mértékegységgel válaszolj: „A kert 8 m széles és 12 m hosszú.” Az ellenőrzést is érdemes egy sorban leírni.