Másodfokú egyenlet
Viète-formulák: a gyökök összege és szorzata
Két sor, amivel megoldás nélkül is tudsz a gyökökről. Ellenőrzésre, egyenlet felírására és olyan kifejezésekre is jó, amiket kiszámolni külön-külön reménytelen lenne.
Röviden a válasz
A Viète-formulák az a · x2 + b · x + c = 0 egyenlet gyökeire vonatkoznak: az összegük x1 + x2 = -ba, a szorzatuk pedig x1 · x2 = ca.
Az x2 − 9x + 20 = 0 egyenletnél tehát az összeg 9, a szorzat 20 – és tényleg, a gyökök a 4 és az 5. Redukált alakban (x2 + p · x + q = 0) még egyszerűbb: az összeg -p, a szorzat q.
Gyökök, összeg és szorzat
Írd be az együtthatókat – a kalkulátor a két gyök mellett az összegüket és a szorzatukat is kiírja, így azonnal ellenőrizheted a Viète-formulákat. A példa: x² − 9x + 20 = 0.
Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenlet együtthatói. Az a nem lehet nulla.
- Diszkrimináns D
- –
- x1 gyök
- –
- x2 gyök
- –
- Csúcspont x
- –
- Csúcspont y
- –
- Gyökök összege
- –
- Gyökök szorzata
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A két formula és a levezetésük
A levezetés egy sor. Írd fel a két gyököt a megoldóképletből: x1,2 = -b ± √D2 · a. Ha összeadod őket, a ± √D tagok kiejtik egymást, és -2b2a = -ba marad. Ha összeszorzod, nevezetes azonosság szerint b2 − D4a2 jön ki, és mivel D = b2 − 4ac, ez éppen 4ac4a2 = ca.
Ugyanez látszik a gyöktényezős alakból is: a · (x − x1) · (x − x2) beszorozva a · x2 − a · (x1 + x2) · x + a · x1 · x2, és az együtthatókat összevetve b = -a(x1 + x2), illetve c = a · x1 · x2.
Mire jó a gyakorlatban?
Kidolgozott példa · Ellenőrzés: 2x² − 7x + 6 = 0
A megoldóképletből x1 = 2 és x2 = 1,5 jött ki. Jó ez?
- Az összegnek -ba-val kell egyeznie:x1 + x2 = 2 + 1,5 = 3,5 és --72 = 3,5
- A szorzatnak ca-val:x1 · x2 = 2 · 1,5 = 3 és 62 = 3
- Mindkettő stimmel, a gyökök helyesek.D = 49 − 48 = 1
EredményA megoldás helyes: x1 = 2, x2 = 1,5.
Ez a leggyorsabb önellenőrzés dolgozatban: két fejben elvégezhető művelet, és azonnal kiderül, ha elszámoltad a megoldóképletet.
Kidolgozott példa · Egyenlet felírása gyökökből: legyen a két gyök 3 és −8
Írj fel egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek pontosan ezek a gyökei!
- Az összeg:x1 + x2 = 3 + (-8) = -5
- A szorzat:x1 · x2 = 3 · (-8) = -24
- Redukált alakban x2 − (összeg) · x + (szorzat) = 0:x2 − (-5) · x + (-24) = 0
- Rendezve:x2 + 5x − 24 = 0
- Ellenőrzés beszorzással:(x − 3) · (x + 8) = x2 + 5x − 24
Eredményx2 + 5x − 24 = 0
Kifejezések kiszámítása a gyökök ismerete nélkül
Itt válik igazán hasznossá a formula: ha a gyökök csúnya irracionális számok, a szimmetrikus kifejezéseiket akkor is pontosan meg tudod adni. Minden ilyen kifejezés visszavezethető az összegre és a szorzatra.
| Kifejezés | Átalakítva | Miért |
|---|---|---|
| x12 + x22 | s2 − 2p | Az (x1 + x2)2 tartalmaz 2x1x2-t, azt vonjuk ki. |
| 1x1 + 1x2 | sp | Közös nevezőre hozva a számláló az összeg, a nevező a szorzat. |
| (x1 − x2)2 | s2 − 4p | Ez éppen Da2, ezért a gyökök különbsége √D|a|. |
| x13 + x23 | s3 − 3 · p · s | A köbök összegének azonosságából. |
Kidolgozott példa · x² − 6x + 4 = 0 – mennyi x₁² + x₂²?
A gyökök irracionálisak, mégis pontos választ adunk.
- Viète szerint:s = x1 + x2 = 6, p = x1 · x2 = 4
- A négyzetösszeg átalakítva:x12 + x22 = s2 − 2p = 36 − 8
- Az eredmény:x12 + x22 = 28
- Ráadásul a reciprokok összege is egy lépés:1x1 + 1x2 = sp = 64 = 1,5
Eredményx12 + x22 = 28, a reciprokok összege 1,5.
A gyökök itt 3 ± √5, tehát külön-külön kiszámolva csak kerekített értéket kapnál. A Viète-formulákkal viszont pontos egész szám a válasz – ezért kérdeznek így az érettségin.
Paraméteres feladat: hiányzó együttható
Kidolgozott példa · Az x² + m·x + 15 = 0 egyenlet egyik gyöke 5
Mennyi m, és mi a másik gyök?
- A szorzatformula azonnal megadja a másik gyököt (a = 1, ezért a szorzat 15):x1 · x2 = 15 → 5 · x2 = 15 → x2 = 3
- Az összegformulából jön az m:x1 + x2 = -m → 5 + 3 = -m
- Tehát:m = -8
- Ellenőrzés az x2 − 8x + 15 = 0 egyenlettel:D = 64 − 60 = 4, x1,2 = 8 ± 22 = 5 és 3
Eredménym = -8, a másik gyök 3.
Gyors önellenőrzés
Mennyi az x² − 11x + 30 = 0 gyökeinek összege és szorzata?
Mennyi a 3x² + 12x − 6 = 0 gyökeinek összege?
Írj fel egy egyenletet, amelynek gyökei 2 és 7!
Lehet-e egy egyenletnek két pozitív gyöke, ha c/a negatív?
Gyakori kérdések
Mik a Viète-formulák?
Az a · x2 + b · x + c = 0 egyenlet gyökeire x1 + x2 = -ba és x1 · x2 = ca. Vagyis a gyökök összege és szorzata közvetlenül leolvasható az együtthatókból, megoldás nélkül.
Hogyan vezethetők le a formulák?
A megoldóképlet két gyökét összeadva a ± √D tagok kiejtik egymást, így -2b2a = -ba marad. Összeszorozva b2 − D4a2 = 4ac4a2 = ca adódik.
Hogyan írok fel egyenletet adott gyökökből?
Használd az x2 − (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0 alakot. A 3 és a -8 gyökökhöz például x2 + 5x − 24 = 0 tartozik.
Mennyi x₁² + x₂², ha nem ismerem a gyököket?
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2 · x1 · x2. Az x2 − 6x + 4 = 0 egyenletnél ez 36 − 8 = 28, pedig a gyökök irracionálisak.
Érvényesek a formulák, ha nincs valós gyök?
Valós számok körében nem használhatók, mert nincs mit összeadni. Ha D < 0, a formulák csak a komplex gyökökre igazak – középiskolai feladatnál ilyenkor a diszkriminánsra hivatkozz.
Mire jó a formula a dolgozatban?
Ellenőrzésre: két fejben elvégezhető művelettel kiderül, jól számoltad-e a megoldóképletet. Emellett paraméteres feladatoknál a hiányzó együtthatót vagy a másik gyököt is megadja.