Négyszögek
A téglalap területe
A két szomszédos oldal szorzata – de a feladatok fele nem így kezdődik, hanem területből kér oldalt, vagy méterben adja az egyiket és centiméterben a másikat. Itt mindegyik esetre megvan a menet.
Röviden a válasz
A téglalap területe a két szomszédos oldal szorzata: T = a · b. Ha az oldalak 8 cm és 5 cm, akkor T = 8 · 5 = 40 cm².
A kerület ettől független: K = 2 · (a + b), vagyis a 8 cm × 5 cm-es téglalap kerülete 26 cm. A terület négyzetes egységben (cm², m²) mérendő, a kerület hosszúságegységben.
Téglalap-kalkulátor
Két adat elég: a két oldal, vagy egy oldal és a terület, a kerület vagy az átló – a többit kiszámoljuk.
Két adat elég: a két oldal, vagy egy oldal és a terület, kerület vagy átló.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- e átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A téglalap területének képlete
A képlet mögött nincs semmi rejtély: a téglalapot fel lehet osztani egységnégyzetekre. Egy 8 cm × 5 cm-es téglalapba 5 sorban 8 darab, azaz 40 darab 1 cm-es négyzet fér – a terület pontosan ennyi, 40 cm². A szorzás csak a sorok és az oszlopok összeszámolásának a rövidítése.
Terület és kerület – ne keverd össze
Ez a téma legjobban fizető félreértése: a terület a lefedett felület, a kerület a körbefutó vonal hossza. Egy szobánál a terület az, amennyi padlót le kell raknod, a kerület az, amennyi szegélylécet kell vágnod.
A két mennyiség nem mozog együtt. Azonos kerülethez sokféle terület tartozhat: a 26 cm kerületű téglalap lehet 8 × 5-ös (40 cm²), 10 × 3-as (30 cm²) vagy 12 × 1-es (12 cm²) is. Minél „laposabb” a téglalap, annál kisebb a területe – a legnagyobb területet azonos kerület mellett mindig a négyzet adja.
| a oldal | b oldal | Kerület | Terület |
|---|---|---|---|
| 8 cm | 5 cm | 26 cm | 40 cm² |
| 10 cm | 3 cm | 26 cm | 30 cm² |
| 12 cm | 1 cm | 26 cm | 12 cm² |
| 6,5 cm | 6,5 cm (négyzet) | 26 cm | 42,25 cm² |
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · a = 12 cm, b = 7 cm
Mekkora a téglalap területe és kerülete?
- A terület a két oldal szorzata:T = a · b = 12 · 7 = 84 cm2
- A kerület a két oldal összegének kétszerese:K = 2 · (12 + 7) = 2 · 19 = 38 cm
EredményT = 84 cm², K = 38 cm
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 96 m², a = 8 m
Egy téglalap alakú telek területe 96 m², az egyik oldala 8 m. Mekkora a másik oldala és a kerülete?
- A területképletet átrendezed a keresett oldalra:b = Ta = 968 = 12 m
- Most már mindkét oldal megvan, jöhet a kerület:K = 2 · (8 + 12) = 40 m
Eredményb = 12 m, K = 40 m
Kidolgozott példa · Gyakorlati: 4,5 m × 3,2 m-es szoba
Hány négyzetméter laminált padló kell egy 4,5 m × 3,2 m-es szobába, ha 10% vágási ráhagyással számolsz?
- A szoba alapterülete:T = 4,5 · 3,2 = 14,4 m2
- A ráhagyás 10 százalék, vagyis a terület 1,1-szeresét veszed:Tv = 14,4 · 1,1 = 15,84 m2
- A boltban egész csomagot lehet venni, ezért felfelé kerekítesz.Tv ≈ 16 m2
EredményT = 14,4 m², vásárolni kb. 16 m²-t érdemes
Ugyanez a gondolatmenet működik falfestésnél és csempézésnél is, csak ott az ajtók és ablakok területét ki kell vonni. A négyzetméter-számítás módszertanát háromszög alakú felületekre a háromszög négyzetméter-számítás oldalon nézheted meg.
Mértékegységek: cm², m², hektár
A területnél a mértékegység is „négyzetre emelődik”, ezért a váltószámok nem 10-esek, hanem 100-asok. Ez a másik nagy hibaforrás: 1 m² nem 100 cm², hanem 10 000 cm².
| Egység | Átváltás | Mire jó |
|---|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² | Füzetlap, kis síkidomok. |
| 1 dm² | 100 cm² | Egy A4-es lap kb. 6,24 dm². |
| 1 m² | 100 dm² = 10 000 cm² | Szoba, fal, padló. |
| 1 ár (a) | 100 m² | Kert, kisebb telek. |
| 1 hektár (ha) | 100 ár = 10 000 m² | Szántóföld, erdő. |
| 1 km² | 100 ha = 1 000 000 m² | Település, tó. |
Terület az átlóból
A téglalap átlója a két oldallal derékszögű háromszöget alkot, ezért a Pitagorasz-tétel köti össze őket: e = √a2 + b2. Ha az átlót és az egyik oldalt ismered, a másik oldal – és vele a terület – kiszámolható.
Kidolgozott példa · a = 9 cm, e = 15 cm
Mekkora a téglalap területe, ha az egyik oldala 9 cm, az átlója 15 cm?
- A Pitagorasz-tételt a hiányzó oldalra rendezed:b = √e2 − a2 = √152 − 92
- Számolj:b = √225 − 81 = √144 = 12 cm
- Most jöhet a terület:T = 9 · 12 = 108 cm2
EredményT = 108 cm²
A derékszögű háromszög oldalainak ilyen visszakeresését részletesen a derékszögű háromszög befogójának kiszámítása oldalon írjuk le. Az is látszik innen, hogy a téglalap két egybevágó derékszögű háromszögből áll: az átló pontosan felezi, ezért a derékszögű háromszög területe éppen a · b2.
Rokon alakzatok
A téglalap területképlete az összes „nyújtott” négyszög alapja. Ha az oldalak egyenlők, négyzetet kapsz (T = a2). Ha a szögeket megdöntöd, de a szemközti oldalak párhuzamosak maradnak, paralelogrammát kapsz – ott az oldal helyére a magasság lép: T = a · m. Ha csak egy oldalpár párhuzamos, trapézról beszélünk.
Gyors önellenőrzés
Egy téglalap oldalai 15 cm és 4 cm. Mekkora a területe?
Hányszorosára nő a terület, ha mindkét oldalt megduplázod?
Egy szoba 320 cm × 250 cm. Hány m² a területe?
Egy téglalap területe 72 cm², az egyik oldala 6 cm. Mekkora a kerülete?
Gyakori kérdések
Mi a téglalap területének képlete?
T = a · b, vagyis a két szomszédos oldal szorzata. Például 8 cm és 5 cm esetén T = 40 cm². A két adatnak azonos mértékegységben kell lennie a szorzás előtt.
Hogyan számolom ki a téglalap területét és kerületét egyszerre?
A terület a két oldal szorzata (T = a · b), a kerület a két oldal összegének kétszerese (K = 2 · (a + b)). A 12 cm × 7 cm-es téglalapnál T = 84 cm² és K = 38 cm. A kettő nem következik egymásból: azonos kerülethez sokféle terület tartozhat.
Hogyan kapom meg a hiányzó oldalt, ha a területet ismerem?
Oszd el a területet az ismert oldallal: b = Ta. Ha T = 96 m² és a = 8 m, akkor b = 12 m. Ellenőrzésképp szorozd vissza: 8 · 12 = 96.
Hány cm² egy négyzetméter?
10 000 cm², nem 100. A hosszúságnál 1 m = 100 cm, és mivel a területnél a mértékegység is szorzódik önmagával, 100 · 100 = 10 000 lesz a váltószám. Ugyanígy 1 m² = 100 dm².
Kiszámolható a téglalap területe az átlóból?
Önmagában nem, mert ugyanahhoz az átlóhoz sokféle oldalpár tartozhat. Ha viszont az átló mellett az egyik oldalt is tudod, a Pitagorasz-tétellel megvan a másik: b = √e2 − a2, és onnan a terület egy szorzás.
Mekkora a legnagyobb területű téglalap adott kerület mellett?
A négyzet. 26 cm kerület mellett a 6,5 cm × 6,5 cm-es négyzet területe 42,25 cm², míg a 8 × 5-ös téglalapé csak 40 cm², a 12 × 1-esé pedig mindössze 12 cm².