Szögfüggvények
Nevezetes szögfüggvények
Ez az a hat érték, amit fejből kell tudni. Nem magolni kell őket: két egyszerű ábrából, a fél szabályos háromszögből és a négyzet átlójából mind levezethető.
Röviden a válasz
A nevezetes szögek pontos értékei: sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32; a koszinuszok ugyanezek fordított sorrendben. A tangensek: tg 30° = √33, tg 45° = 1, tg 60° = √3.
Azért „nevezetesek”, mert gyök alakban pontosan felírhatók, így kerekítés nélkül lehet velük számolni – ezért szerepelnek olyan gyakran a feladatokban.
Ellenőrizd a nevezetes értékeket
Írd be a 30-at, a 45-öt vagy a 60-at – a tizedes tört alak összevethető a gyökös pontos értékkel.
Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát és tangensét.
- Szög
- –
- Radiánban
- –
- szinusz
- –
- koszinusz
- –
- tangens
- –
- kotangens
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A nevezetes szögek pontos értékei
| Szög | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 12 = 0,5 | √32 = 0,8660 | √33 = 0,5774 |
| 45° | √22 = 0,7071 | √22 = 0,7071 | 1 |
| 60° | √32 = 0,8660 | 12 = 0,5 | √3 = 1,7321 |
| 90° | 1 | 0 | nincs értelmezve |
Honnan jön a 30° és a 60°? – a fél szabályos háromszög
Vegyél egy szabályos háromszöget, amelynek minden oldala 2 egység és minden szöge 60°. Húzd be az egyik magasságot: ez felezi az alapot és a felső szöget is.
A levezetés
- Fél alapAz eredeti oldal 2, a magasság felezi, tehát a rövidebb befogó 1 egység.
- Magasság Pitagorasz-tétellelA hosszabb befogó m = √22 − 12 = √3.
- A 30°-os szög függvényeiA 30°-os szöggel a rövid, 1 egységes befogó áll szemben, az átfogó 2: sin 30° = 12 és cos 30° = √32.
- A 60°-os szög függvényeiUgyanabban a háromszögben a másik hegyesszögből nézve felcserélődnek a befogók: sin 60° = √32, cos 60° = 12, tg 60° = √31 = √3.
Innen ered a 30°-os szög legfontosabb gyakorlati következménye: a 30°-os szöggel szemközti befogó pontosan az átfogó fele. Ez a leggyorsabb fejszámolási fogás a derékszögű háromszög oldalainál.
Honnan jön a 45°? – a négyzet átlója
A négyzet átlója két egyenlő szárú derékszögű háromszöget hoz létre, ezek hegyesszögei 45°-osak. Ha az oldal 1 egység, az átló √2, így sin 45° = cos 45° = 1√2 = √22, a tangens pedig 1, mert a két befogó egyenlő.
Számolás pontos értékekkel
Ha nevezetes szög szerepel a feladatban, kerekítés nélkül, gyökös alakban is végig lehet vinni a számolást – az érettségin ez gyakran elvárás.
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, oldal a = 6 cm
Mekkora a magassága pontos alakban?
- A magasság a 60°-os szöggel szemközti befogó, az oldal az átfogó:m = a · sin 60°
- A pontos érték behelyettesítve:m = 6 · √32 = 3 · √3
- Tizedes alakban:m = 3 · 1,7321 = 5,196 cm
Eredménym = 3√3 ~ 5,196 cm
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 12 cm, egyik hegyesszöge 30°. Mekkora a szöggel szemközti befogó?
Miért igaz, hogy tg 45° = 1?
Mennyi cos 60° + sin 30°?
Gyakori kérdések
Melyek a nevezetes szögek?
A 0°, 30°, 45°, 60° és 90°. Ezeknél a szögfüggvényértékek pontosan, gyökös alakban felírhatók, ezért ezekkel lehet számológép nélkül is dolgozni.
Mennyi sin 30, sin 45 és sin 60?
sin 30° = 12 = 0,5, sin 45° = √22 ~ 0,7071, sin 60° = √32 ~ 0,8660.
Hogyan jegyezzem meg a nevezetes szögfüggvényeket?
A √02, √12, √22, √32, √42 sorozattal: ez adja a szinuszokat 0°, 30°, 45°, 60°, 90° sorrendben. A koszinuszokhoz olvasd visszafelé ugyanezt.
Miért pont ezek az értékek jönnek ki?
Mert a 30°–60° pár a felezett szabályos háromszögből, a 45° pedig a négyzet átlójából származik. Mindkét esetben a Pitagorasz-tétel adja a hiányzó oldalt: √3-at, illetve √2-t.
Mennyi tg 30 pontos értéke?
tg 30° = 1√3 = √33 ~ 0,5774. A nevező gyöktelenítése miatt írjuk általában a második alakban.