Szögfüggvények
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
A definíciót mindenki tudja, a nehézség a választás: sin, cos vagy tg? Itt egy döntési táblázat és egy recept, amivel bármelyik hiányzó adat kijön.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a kiválasztott hegyesszöghöz három arány tartozik, és mindig az dönt, melyik két oldal szerepel a feladatban: szemközti és átfogó → szinusz, melletti és átfogó → koszinusz, a két befogó → tangens.
Egy oldal és egy hegyesszög már elég a teljes háromszöghöz: a másik hegyesszög 90°-ra egészít ki, a hiányzó oldalak pedig egy-egy szorzással vagy osztással jönnek.
Derékszögű háromszög kalkulátor
Adj meg két adatot – két oldalt, vagy egy oldalt és egy szöget –, és a maradék négy kiszámolódik.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Előbb nevezd el az oldalakat
A derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal az átfogó – ez mindig ugyanaz marad. A másik két oldal neve viszont attól függ, melyik hegyesszögből nézed: az egyik a szemközti, a másik a melletti befogó. Ha nem ezzel kezded, könnyű rossz függvényt választani.
Melyik szögfüggvényt válaszd?
Nézd meg, melyik két oldal szerepel a feladatban (az ismert és a keresett együtt), és olvasd le a táblázatból:
| Az ismert és a keresett oldal | Ezt használd | Képlet |
|---|---|---|
| szemközti befogó és átfogó | szinusz | sin α = ac |
| melletti befogó és átfogó | koszinusz | cos α = bc |
| a két befogó | tangens | tg α = ab |
A négylépéses recept
- Jelöld ki a szögetVálaszd ki azt a hegyesszöget, amelyikről tudsz valamit, vagy amelyiket keresed.
- Nevezd el a három oldaltEhhez a szöghöz képest: szemközti befogó, melletti befogó, átfogó.
- Válassz függvényt a táblázatbólCsak az számít, melyik két oldal szerepel – az ismert és a keresett.
- Rendezd át és számoljHa a keresett a tört számlálójában van, szorzás lesz; ha a nevezőben, osztás. A végén ellenőrizd, hogy az átfogó a leghosszabb-e.
Példa: szög keresése két oldalból
Kidolgozott példa · Átfogó c = 26 cm, egyik befogó a = 10 cm
Mekkorák a hegyesszögek és a másik befogó?
- Az α szög felől a 10 cm a szemközti befogó, a 26 cm az átfogó – tehát szinusz:sin α = 1026 = 0,3846
- Inverz szinusszal:α = sin-1 0,3846 = 22,62°
- A másik hegyesszög a kiegészítés:β = 90° − 22,62° = 67,38°
- A hiányzó befogó Pitagorasz-tétellel (vagy b = 26 · cos 22,62°):b = √262 − 102 = √676 − 100 = √576 = 24 cm
Eredményα = 22,62°, β = 67,38°, b = 24 cm
Példa: oldalak keresése szögből
Kidolgozott példa · b = 14 cm befogó, a mellette lévő β = 55°
Mekkora az átfogó és a másik befogó?
- A β szöggel a b oldal áll szemben, tehát az átfogóhoz szinusz kell:sin 55° = 14c
- A keresett a nevezőben van, ezért osztás:c = 14sin 55° = 140,8192 = 17,09 cm
- A másik befogó a két befogó arányából, tangenssel:tg 55° = 14a → a = 141,4281 = 9,80 cm
- A harmadik szög:α = 90° − 55° = 35°
Eredményc = 17,09 cm, a = 9,80 cm, α = 35°
Hány adat kell a teljes háromszöghöz?
A derékszög már egy ismert adat, ezért két további adat elég, de legalább az egyiknek oldalnak kell lennie. Két szögből ugyanis csak a háromszög alakja derül ki, a mérete nem.
- Két oldal: a harmadik oldal Pitagorasz-tétellel, a szögek inverz szögfüggvénnyel.
- Egy oldal és egy hegyesszög: a másik szög kivonással, a két hiányzó oldal szögfüggvénnyel.
- Két hegyesszög: nem elég – végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög felel meg neki.
Gyors önellenőrzés
Egy 4 m magas falhoz 60°-os szögben támasztasz létrát. Milyen hosszú a létra?
Melyik függvényt használod, ha mindkét befogó ismert, és szöget keresel?
Gyakori kérdések
Hogyan számolok szögfüggvényt derékszögű háromszögben?
Válassz egy hegyesszöget, nevezd el hozzá a három oldalt (szemközti befogó, melletti befogó, átfogó), majd írd fel azt a függvényt, amelyben az ismert és a keresett oldal szerepel. Végül rendezd át az egyenletet a keresett mennyiségre.
Mikor melyik szögfüggvényt kell használni?
Szemközti befogó és átfogó esetén szinuszt, melletti befogó és átfogó esetén koszinuszt, két befogó esetén tangenst. Rövid szabály: ha az átfogó nem szerepel a feladatban, tangens kell.
Hány adatból számolható ki egy derékszögű háromszög?
Kettőből, ha legalább az egyik oldal. Például két oldalból, vagy egy oldalból és egy hegyesszögből. Két szög nem elég, mert abból csak az alak derül ki, a méret nem.
Használhatom a szögfüggvényeket a derékszögre is?
A definíció csak a hegyesszögekre szól, a 90°-os szögre nem értelmezzük a befogóarányokat. A sin 90° = 1 és cos 90° = 0 értékek az egységkörös kiterjesztésből jönnek, a tg 90° pedig nem létezik.
Miért jön ki az átfogóra rövidebb érték, mint a befogóra?
Mert felcserélted a szorzást és az osztást. Ha a keresett oldal a tört nevezőjében áll – például sin α = ac és a c a keresett –, akkor osztani kell: c = asin α.