MatematikaMódszertan– főoldal

Pitagorasz-tétel

Pitagorasz-tétel feladatok megoldással

Nem képletgyűjtemény, hanem feladattípusok. Négy visszatérő szöveges feladat teljes levezetéssel – és a fogás, amivel mindegyikben megtalálod a derékszögű háromszöget.

Frissítve: 2 perc olvasás8–10. osztály

Röviden a válasz

A Pitagorasz-tételes szöveges feladatok szinte mindig ugyanúgy indulnak: rajzold le a helyzetet, és keresd meg benne a derékszögű háromszöget. Ha megvan, döntsd el, hogy az átfogót vagy egy befogót keresed – ettől függ, hogy összeadsz vagy kivonsz.

Az alábbi négy feladat lefedi a dolgozatokban leggyakoribb típusokat: létra a falnál, téglalap átlója, egyenlő szárú háromszög magassága és szabályos háromszög magassága. Mindegyik teljes levezetéssel szerepel.

Ellenőrző kalkulátor a feladatokhoz

Írd be a saját adataidat, és nézd meg, jól számoltál-e. Két adat elég.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Bemeneti adatok
a = 2,5 cmb = 6 cmc = 6,5 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    A megoldás menete – ez a négy lépés minden feladatban ugyanaz

    Hogyan állj neki egy szöveges feladatnak

    1. RajzoljVázlat nélkül a legtöbb hiba abból jön, hogy nem látod, hol a derékszög.
    2. Jelöld be a derékszögetFal és talaj, két szomszédos téglalapoldal, magasság és alap – ezek mindig merőlegesek.
    3. Döntsd el, mit kereselHa a derékszöggel szemközti oldal a kérdés, összeadsz; ha egy befogó, kivonsz.
    4. Ellenőrizd az eredménytAz átfogó a leghosszabb oldal, és kisebb a két befogó összegénél.

    Ha a képlet két iránya (mikor adsz össze és mikor vonsz ki) még nem ül, előbb nézd át a Pitagorasz-tétel alapjait – itt már azt feltételezzük, hogy ez megvan.

    1. feladat: létra a falnál

    Kidolgozott példa · Egy 6,5 m hosszú létra alja 2,5 m-re van a faltól

    Milyen magasan éri el a létra teteje a falat?

    1. A fal és a talaj merőleges, tehát a létra az átfogó. A keresett magasság befogó, ezért kivonunk:m2 = 6,52 − 2,52
    2. Négyzetre emelve:m2 = 42,25 − 6,25 = 36
    3. Gyököt vonva:m = √36 = 6 m

    EredményA létra 6 m magasan éri el a falat.

    a = 2,5 mb = 6 mc = 6,5 mABC

    2. feladat: téglalap átlója

    Kidolgozott példa · Egy telek 12 m × 35 m

    Milyen hosszú kerítést kell venni a telket átlósan kettéosztó drótkerítéshez?

    1. Az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre vágja, a két oldal a befogó:e2 = 122 + 352
    2. Behelyettesítve:e2 = 144 + 1225 = 1369
    3. Gyököt vonva:e = √1369 = 37 m

    EredményAz átló 37 m hosszú.

    efa = 35 mb = 12 mABCD
    A téglalap átlója a két oldalból Pitagorasz-tétellel adódik: 144 + 1225 = 1369 = 37².

    3. feladat: egyenlő szárú háromszög magassága

    Itt a derékszög nincs benne az eredeti háromszögben – te hozod létre azzal, hogy behúzod az alaphoz tartozó magasságot. Ez felezi az alapot, így két egybevágó derékszögű háromszög keletkezik.

    Kidolgozott példa · Alap: 32 cm, szárak: 34 cm

    Mekkora az alaphoz tartozó magasság?

    1. A magasság felezi az alapot, tehát a kis befogó 16 cm, az átfogó pedig a 34 cm-es szár:m2 = 342 − 162
    2. Négyzetre emelve:m2 = 1156 − 256 = 900
    3. Gyököt vonva:m = √900 = 30 cm

    Eredménym = 30 cm. Ellenőrzésként a háromszög területe 32 · 302 = 480 cm².

    maa = 32 cmb = 34 cmc = 34 cmABC

    4. feladat: szabályos háromszög magassága

    Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, oldala 12 cm

    Mekkora a magassága? Kerekíts két tizedesjegyre.

    1. A magasság itt is felezi az alapot, a szár pedig maga az oldal:m2 = 122 − 62
    2. Számolva:m2 = 144 − 36 = 108
    3. A 108 nem négyzetszám, pontos alakban:m = √108 = 6 · √3
    4. Közelítő érték:m = 10,39 cm

    Eredménym = 6 · √3 = 10,39 cm. Általánosan szabályos háromszögre m = a · √32.

    Ez a levezetés magyarázza meg, honnan jön a szabályos háromszög magasságának képlete: a fél oldal a2, az átfogó a, és a2 − (a2)2 = 3a24.

    Önellenőrző feladatok

    Gyors önellenőrzés

    Egy derékszögű háromszög befogói 21 cm és 28 cm. Mekkora az átfogó és a kerület?
    c = √441 + 784 = √1225 = 35 cm. A kerület 21 + 28 + 35 = 84 cm.
    Egy 41 cm-es átfogójú derékszögű háromszög egyik befogója 9 cm. Mekkora a területe?
    A másik befogó √1681 − 81 = √1600 = 40 cm, a terület pedig 9 · 402 = 180 cm².
    Egy négyzet átlója 14 cm. Mekkora az oldala?
    a2 + a2 = 142, tehát 2a2 = 196, ahonnan a2 = 98 és a = 9,90 cm.
    Egy rombusz átlói 14 cm és 48 cm. Mekkora az oldala?
    Az átlók felezik egymást és merőlegesek, így a befogók 7 és 24 cm: a = √49 + 576 = 25 cm.

    Gyakori kérdések

    Hogyan ismerem fel, hogy Pitagorasz-tételes a feladat?

    Ha van a szövegben merőlegesség – fal és talaj, téglalap oldalai, magasság és alap, kör sugara és húrja –, és három oldalból kettő ismert. Ilyenkor a harmadik oldal mindig a tétellel jön ki.

    Honnan tudom, hogy összeadni vagy kivonni kell?

    Nézd meg, mit keresel. Ha az átfogót (a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt), akkor összeadsz. Ha egy befogót, akkor az átfogó négyzetéből vonod ki a másik befogó négyzetét.

    Mit tegyek, ha nem jön ki egész szám?

    Semmi baj, ez a feladatok felében így van. Hagyd meg gyökös alakban (pl. 6 · √3), vagy kerekíts két tizedesjegyre a legvégén. A kerekítést sose a köztes lépésekben végezd.

    Egyenlő szárú háromszögnél hova kerül a derékszög?

    Az alaphoz tartozó magasság talppontjához: a magasság merőleges az alapra, és felezi is azt. Így a fél alap és a magasság a befogó, a szár pedig az átfogó.

    Kell-e mértékegységet átváltani?

    Ha az adatok különböző egységben vannak, igen – még a négyzetre emelés előtt. Ha minden adat azonos egységben van, az eredmény is abban lesz.

    Hova tovább?

    Pitagorasz-tételA Pitagorasz-tétel szerint derékszögű háromszögben a² + b² = c². Képlet átfogóra és befogóra, ka…Pitagorasz-tétel alkalmazásaHol használható a Pitagorasz-tétel a háromszögön kívül? Két pont távolsága, kocka és téglatest t…Pitagorasz-kalkulátorPitagorasz-tétel kalkulátor: írd be a két befogót vagy az átfogót és egy befogót, és megkapod a …Derékszögű háromszög oldalaiDerékszögű háromszög oldalainak kiszámítása két adatból: Pitagorasz-tétel két oldalhoz, szögfügg…Egyenlő szárú háromszög magasságaAz egyenlő szárú háromszög magassága a szárból és a fél alapból, Pitagorasz-tétellel jön ki. Kép…Átfogó számításÁtfogó számítás lépésről lépésre: két befogóból Pitagorasz-tétellel, befogóból és szögből szinus…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.