Szögfüggvények
Radián-fok átváltás
A radián nem misztikus: egyszerűen a szöghöz tartozó ív hosszával mérjük a szöget az egységsugarú körön. Ebből a két átváltási képlet magától adódik.
Röviden a válasz
Fokból radiánba: szorozz π180-nal, tehát αrad = αfok · π180. Radiánból fokba: szorozz 180π-vel, azaz αfok = αrad · 180π.
A viszonyítási pont a 180° = π rad egyenlőség: a félkör 180 fok, és ugyanez ívmértékben π ~ 3,1416 radián. Egy radián körülbelül 57,3°.
Fok → radián átváltó
Írd be a szöget fokban – a „Radiánban" sorban látod az ívmértékét, mellette a szögfüggvényeit is.
Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát és tangensét.
- Szög
- –
- Radiánban
- –
- szinusz
- –
- koszinusz
- –
- tangens
- –
- kotangens
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A két átváltási képlet
Minden a 180° = π rad egyenlőségből következik. Ha ezt elosztod 180-nal, megkapod, mennyit ér egy fok radiánban; ha π-vel osztod, megkapod, mennyit ér egy radián fokban.
Mit jelent az ívmérték?
A radián (magyarul ívmérték) a szöget nem önkényes 360-ad részekkel méri, hanem azzal, hogy mekkora ívet vág ki az egységsugarú körből. Egy radián az a középponti szög, amelyhez tartozó körív pontosan olyan hosszú, mint a sugár.
Ebből azonnal jön a legfontosabb gyakorlati haszon: ha a szöget radiánban méred, az ívhossz egyetlen szorzás. A körív hosszának képlete radiánnal i = r · α, míg fokkal a jóval körülményesebb i = 2 r π · α360 alakot kellene használnod.
Kidolgozott példa · r = 5 cm sugarú kör, α = 1,2 rad középponti szög
Mekkora a körív hossza és a körcikk területe?
- Ívhossz radiánnal – csak egy szorzás:i = r · α = 5 · 1,2 = 6 cm
- A körcikk területe ugyanígy:T = r2 · α2 = 25 · 1,22 = 15 cm2
- Ellenőrzés fokban (1,2 rad = 68,75°, π = 3,1416):i = 2 · 5 · 3,1416 · 68,75360 = 6,0 cm
Eredményi = 6 cm és T = 15 cm²
Ugyanez a gondolat áll a körív hossza és a körcikk területe oldalak képletei mögött is – ott a fokos alakkal dolgozunk, mert az általános iskolában az a megszokott.
Átváltás lépésenként – két példa
Kidolgozott példa · 75° átváltása radiánba
Add meg a 75°-os szöget ívmértékben, pontos (π-s) és tizedes alakban is!
- Szorzás π180-nal:α = 75 · π180
- Egyszerűsíts 15-tel a törtben:α = 75 π180 = 5 π12
- Tizedes alak (π = 3,1416):α = 5 · 3,141612 = 1,309 rad
Eredmény75° = 5 π12 rad ~ 1,309 rad
Kidolgozott példa · 3π/4 radián átváltása fokba
Hány fok a 3 π4 radián?
- Szorzás 180π-vel:α = 3 π4 · 180π
- A π kiesik, marad a szorzás:α = 3 · 1804 = 5404
- Vagyis:α = 135°
Eredmény3 π4 rad = 135°
Átváltási táblázat a nevezetes szögekre
| Fok | Radián (pontos) | Radián (tizedes) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | π6 | 0,5236 |
| 45° | π4 | 0,7854 |
| 60° | π3 | 1,0472 |
| 90° | π2 | 1,5708 |
| 120° | 2 π3 | 2,0944 |
| 180° | π | 3,1416 |
| 270° | 3 π2 | 4,7124 |
| 360° | 2 π | 6,2832 |
A táblázat felépítése egyszerű: a nevező azt mondja meg, hányadrésze a szög a 180°-nak. A π6 tehát a 180° hatoda, vagyis 30°; a 2 π3 a 180° harmadának kétszerese, azaz 120°.
Gyors önellenőrzés
Hány radián a 210°?
Hány fok 2 radián?
Miért nincs mértékegysége a radiánnak?
Gyakori kérdések
Hogyan váltok át fokot radiánba?
Szorozd a fokot π180-nal. Például 75° = 75 · π180 = 5 π12 ~ 1,309 rad (π = 3,1416).
Hogyan váltok át radiánt fokba?
Szorozd a radiánt 180π-vel. Például 3 π4 · 180π = 135°. Ha a szög π-s alakban van, a π egyszerűen kiesik.
Mennyi 1 radián fokban?
1 rad = 180π = 57,2958°, kerekítve 57,3°. Visszafelé 1° = 0,01745 rad.
Mit jelent az ívmérték?
Azt, hogy a szöget a hozzá tartozó körív hosszával mérjük az egységsugarú körön. Egy radián az a középponti szög, amelynél az ív pontosan olyan hosszú, mint a sugár.
Miért használunk egyáltalán radiánt?
Mert így az ívhossz i = r · α és a körcikk területe T = r2 · α2 – nincs benne se 360, se π-vel való szorzás. A felsőbb matematikában a szögfüggvények deriválása is csak radiánban ad egyszerű alakot.
Hány radián a teljes kör?
360° = 2 π ~ 6,2832 rad, a félkör 180° = π rad, a derékszög pedig 90° = π2 ~ 1,5708 rad.