Négyszögek
A sokszög belső szögeinek összege
Egyetlen képlet minden sokszögre – és az is kiderül, miért pont kettőt vonunk ki az oldalszámból, meg hogy miért működik konkáv sokszögre is.
Röviden a válasz
Egy n oldalú sokszög belső szögeinek összege S = (n − 2) · 180°. Ötszögnél ez (5 − 2) · 180° = 540°, hatszögnél 720°, tizenkétszögnél 1800°.
A képlet csak az oldalszámtól függ: nem számít, hogy a sokszög szabályos-e, nyújtott-e vagy konkáv – ugyanannyi jön ki. Az egyes szögek nagysága persze különböző lehet, csak az összegük kötött.
Sokszög szögeinek kalkulátora
Add meg az oldalszámot (és egy méretet) – a belső szögek összege és a többi adat is azonnal kijön.
Add meg az oldalak számát és egy méretet – a szögek és a terület is kijön.
- Oldalak száma
- –
- a oldal
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
- Egy belső szög
- –
- Belső szögek összege
- –
- Középponti szög
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a mögötte lévő gondolat
A levezetés egyetlen ötleten múlik: bontsd háromszögekre a sokszöget. Válassz ki egy csúcsot, és húzz belőle átlót az összes olyan csúcshoz, amelyik nem a szomszédja. A két szomszédos csúcshoz nem vezet átló, magához a csúcshoz sem – így n − 3 átlót kapsz, ezek pedig n − 2 háromszögre vágják az alakzatot.
- Egy csúcsból n − 3 átló indul.
- Ezek n − 2 háromszögre osztják a sokszöget.
- Minden háromszögben a szögek összege 180°.
- A háromszögek szögei hiánytalanul kiadják a sokszög belső szögeit, ezért S = (n − 2) · 180°.
Táblázat: szögösszeg oldalszám szerint
| Oldalszám (n) | Neve | Háromszögek száma | Szögösszeg |
|---|---|---|---|
| 3 | háromszög | 1 | 180° |
| 4 | négyszög | 2 | 360° |
| 5 | ötszög | 3 | 540° |
| 6 | hatszög | 4 | 720° |
| 7 | hétszög | 5 | 900° |
| 8 | nyolcszög | 6 | 1080° |
| 9 | kilencszög | 7 | 1260° |
| 10 | tízszög | 8 | 1440° |
| 12 | tizenkétszög | 10 | 1800° |
A táblázatban jól látszik, hogy minden új oldal 180°-kal növeli az összeget. Ezért ha egy értéket tudsz, a szomszédosat fejben kapod meg: a hatszög 720°, tehát a hétszög 900°, a nyolcszög 1080°. A háromszög esetét a háromszög belső szögeinek összege, a négyszögét a négyszög belső szögeinek összege oldal részletezi.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Tizenkétszög (n = 12)
Mekkora egy tizenkét oldalú sokszög belső szögeinek összege?
- Írd be az oldalszámot a képletbe:S = (12 − 2) · 180°
- Számolj:S = 10 · 180° = 1800°
EredményS = 1800°
Kidolgozott példa · Visszafelé: S = 1440°, mennyi az oldalszám?
Egy sokszög belső szögeinek összege 1440°. Hány oldalú?
- Indulj a képletből, és oszd el mindkét oldalt 180°-kal:n − 2 = 1440°180° = 8
- Add hozzá a kettőt:n = 8 + 2 = 10
EredményA sokszög tízszög, n = 10
Kidolgozott példa · Ötszög hiányzó szöge
Egy ötszög négy belső szöge 100°, 130°, 95° és 160°. Mekkora az ötödik?
- Az ötszög szögösszege:S = (5 − 2) · 180° = 540°
- Add össze az ismert szögeket:100° + 130° + 95° + 160° = 485°
- A hiányzó szög a különbség:x = 540° − 485° = 55°
Eredményx = 55°
Konkáv sokszögek és a külső szögek
A képlet konkáv (befelé is horpadó) sokszögekre is érvényes, mert a háromszögekre bontás ott is elvégezhető – csak nem feltétlenül egyetlen csúcsból. Egy konkáv ötszög szögösszege is 540°, csak ott az egyik belső szög 180°-nál nagyobb (például 250°). Ilyen szöget hívunk homorúszögnek.
A külső szögek összege ezzel szemben nem függ az oldalszámtól: minden konvex sokszögnél pontosan 360°. Szemléletesen: ha körbesétálsz a sokszög szélén, minden csúcsnál fordulsz egy kicsit, és a végén pont egy teljes fordulatot tettél meg. A háromszög esetét a háromszög külső szögeinek összege oldal tárgyalja.
Gyors önellenőrzés
Mekkora egy nyolcszög belső szögeinek összege?
Hány oldalú az a sokszög, amelynek belső szögeinek összege 2160°?
Egy négyszög három szöge 85°, 100° és 60°. Mekkora a negyedik?
Lehet-e egy hatszög belső szögeinek összege 700°?
Gyakori kérdések
Mi a sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó képlet?
S = (n − 2) · 180°, ahol n az oldalak száma. Ötszögnél 540°, hatszögnél 720°, nyolcszögnél 1080°.
Miért kell kettőt kivonni az oldalszámból?
Mert egy csúcsból behúzott átlók a sokszöget pontosan n − 2 háromszögre bontják, és mindegyikben 180° a szögösszeg. Háromszögnél 3 − 2 = 1 háromszög, vagyis 180° – a képlet a legegyszerűbb esetre is stimmel.
Hogyan kapom meg az oldalszámot a szögösszegből?
Rendezd át a képletet: n = S180° + 2. Ha S = 1440°, akkor 1440 : 180 = 8, tehát n = 10. Ha az osztás nem ad egész számot, a megadott szögösszeg nem lehet helyes.
Mennyi a sokszög külső szögeinek összege?
Minden konvex sokszögnél 360°, az oldalszámtól függetlenül. Egy körbesétálás közben összesen egy teljes fordulatot teszel meg.
Hogyan számolom ki egyetlen belső szöget?
Csak akkor tudod, ha a sokszög szabályos: akkor a szögösszeget elosztod az oldalszámmal, (n − 2) · 180°n. Szabálytalan sokszögnél a szögek egyenként bármekkorák lehetnek, csak az összegük kötött.