Négyszögek
A szabályos sokszög belső szögeinek összege
Szabályos sokszögnél az összegnél többet is tudsz: mivel minden szög egyforma, egyetlen osztással megkapod bármelyiket – és van rá egy még gyorsabb út is.
Röviden a válasz
A szabályos sokszög belső szögeinek összege ugyanaz, mint bármelyik n oldalú sokszögé: S = (n − 2) · 180°. A szabályosságból az következik, hogy a szögek egyenlők is, ezért egyetlen belső szög α = (n − 2) · 180°n.
Szabályos kilencszögnél például S = 7 · 180° = 1260°, egy szöge pedig 1260° : 9 = 140°. Ugyanez rövidebben: α = 180° − 360°9 = 180° − 40° = 140°.
Szabályos sokszög kalkulátor
Add meg az oldalszámot és egy méretet – a szögösszeg, az egy belső szög és a középponti szög is kijön.
Add meg az oldalak számát és egy méretet – a szögek és a terület is kijön.
- Oldalak száma
- –
- a oldal
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
- Egy belső szög
- –
- Belső szögek összege
- –
- Középponti szög
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Két képlet, két különböző kérdés
Az első képlet nem használja ki a szabályosságot – az bármilyen n oldalú sokszögre igaz, ahogy a sokszög belső szögeinek összege oldalon is látod. A második viszont már igen: csak akkor oszthatod el az összeget az oldalszámmal, ha minden szög egyforma.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Szabályos kilencszög (n = 9)
Mekkora a belső szögek összege, és mekkora egyetlen belső szög?
- A szögösszeg csak az oldalszámtól függ:S = (9 − 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°
- Mivel a sokszög szabályos, mind a kilenc szög egyenlő:α = 1260°9 = 140°
- Ellenőrzés a rövid úton:α = 180° − 360°9 = 180° − 40° = 140°
EredményS = 1260°, egy belső szög 140°
Kidolgozott példa · Visszafelé: egy belső szög 156°
Hány oldalú az a szabályos sokszög, amelynek egy belső szöge 156°? Mekkora a szögösszege?
- A külső szög a belső kiegészítője:β = 180° − 156° = 24°
- A külső szögek összege 360°, ezért az oldalszám:n = 360°24° = 15
- Innen a belső szögek összege:S = (15 − 2) · 180° = 13 · 180° = 2340°
EredménySzabályos tizenötszög, S = 2340°
Táblázat a leggyakoribb szabályos sokszögekhez
| Oldalszám | Egy belső szög | Egy külső szög | Középponti szög | Szögösszeg |
|---|---|---|---|---|
| 3 (szabályos háromszög) | 60° | 120° | 120° | 180° |
| 4 (négyzet) | 90° | 90° | 90° | 360° |
| 5 (ötszög) | 108° | 72° | 72° | 540° |
| 6 (hatszög) | 120° | 60° | 60° | 720° |
| 8 (nyolcszög) | 135° | 45° | 45° | 1080° |
| 10 (tízszög) | 144° | 36° | 36° | 1440° |
| 12 (tizenkétszög) | 150° | 30° | 30° | 1800° |
A külső szög és a középponti szög mindig egyenlő, hiszen mindkettő 360°n. A belső szög pedig az oldalszám növelésével egyre közelebb kerül a 180°-hoz – ezért hasonlít a sok oldalú szabályos sokszög egyre inkább a körre. A hatszög esetét a hatszög belső szögeinek összege oldalon nézheted meg.
Miért érdekesek ezek a szögek?
A padlóburkolás kérdése egyenesen ebből a képletből dől el. Egy csúcs körül 360° van, ezért egyfajta szabályos sokszöggel csak akkor lehet hézagmentesen kiparkettázni a síkot, ha a belső szöge osztója a 360°-nak.
- Szabályos háromszög: 60°, és 360 : 60 = 6 – hat háromszög találkozik egy pontban, működik.
- Négyzet: 90°, és 360 : 90 = 4 – négy négyzet illeszkedik, működik.
- Szabályos hatszög: 120°, és 360 : 120 = 3 – ez a méhsejt mintája, működik.
- Szabályos ötszög: 108°, de 360 : 108 nem egész – ezért nem lehet vele hézagmentesen burkolni.
Vagyis a síkot csak három szabályos sokszöggel lehet egyfajta csempével kirakni: háromszöggel, négyzettel és hatszöggel. A szabályos háromszög tulajdonságait a szabályos háromszög oldalon nézheted meg.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a szabályos tizenkétszög egy belső szöge?
Hány oldalú az a szabályos sokszög, amelynek egy belső szöge 162°?
Létezik-e szabályos sokszög, amelynek egy belső szöge 100°?
Egy szabályos sokszög belső szögeinek összege 1080°. Hány oldalú, és mekkora egy szöge?
Gyakori kérdések
Mennyi a szabályos sokszög belső szögeinek összege?
S = (n − 2) · 180°, ugyanúgy, mint a nem szabályos sokszögeknél. A szabályosság az összeget nem befolyásolja, csak azt garantálja, hogy a szögek egyenlők.
Hogyan számolom ki egyetlen belső szöget?
Oszd el a szögösszeget az oldalszámmal: α = (n − 2) · 180°n. Gyorsabb út: α = 180° − 360°n. Szabályos ötszögnél mindkettő 108°-ot ad.
Mi a különbség a belső, a külső és a középponti szög között?
A belső szög a sokszög csúcsánál lévő szög. A külső ennek 180°-ra való kiegészítése, nagysága 360°n. A középponti szög a középpontból két szomszédos csúcshoz húzott sugarak szöge – ez szintén 360°n, tehát a külső szöggel egyenlő.
Hogyan kapom meg az oldalszámot egy belső szögből?
Számold ki a külső szöget (180° − α), majd oszd el vele a 360°-ot. Ha α = 156°, akkor a külső szög 24°, és n = 360 : 24 = 15.
Melyik szabályos sokszögekkel lehet hézagmentesen burkolni a síkot?
Csak azokkal, amelyek belső szöge osztója a 360°-nak: a szabályos háromszöggel (60°), a négyzettel (90°) és a szabályos hatszöggel (120°). Az ötszög 108°-os szöge nem osztója, ezért azzal nem megy.