Szögfüggvények
Szinusz, koszinusz, tangens
A három függvény ugyanannak a háromszögnek három különböző oldalpárját méri. Ha tudod, melyik két oldal szerepel a feladatban, a függvény kiválasztása már nem kérdés.
Röviden a válasz
A szinusz a szemközti befogó és az átfogó aránya, a koszinusz a melletti befogó és az átfogó aránya, a tangens pedig a szemközti és a melletti befogó aránya: sin α = szemköztiátfogó, cos α = mellettiátfogó, tg α = szemköztimelletti.
A választás egyetlen kérdésen múlik: melyik két oldal szerepel a feladatban – az ismert és a keresett. Ha az átfogó is köztük van, szinusz vagy koszinusz kell; ha csak a két befogó, akkor tangens.
Sin, cos, tg egy szögre
Írj be egy szöget fokban – egymás mellett látod mind a három értéket, így összehasonlíthatod őket.
Írj be egy szöget fokban – megkapod a szinuszát, koszinuszát és tangensét.
- Szög
- –
- Radiánban
- –
- szinusz
- –
- koszinusz
- –
- tangens
- –
- kotangens
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a különbség a három között?
Mindhárom függvény két oldal hányadosa egy derékszögű háromszögben, és mindhárom egy hegyesszöghöz tartozik. A különbség csak annyi, hogy melyik két oldalt osztod el egymással.
A „szemközti” és a „melletti” mindig ahhoz a hegyesszöghöz képest értendő, amelyikkel dolgozol. Ugyanaz az oldal az egyik szögnek szemközti befogója, a másiknak melletti befogója – ezért cserélődik fel a szinusz és a koszinusz, ha a másik hegyesszögre váltasz. Az átfogó viszont mindig ugyanaz: a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal.
Ugyanaz a háromszög – mind a három függvénnyel
A legjobb módja megérteni a különbséget, ha egyetlen háromszögön mind a hármat kiszámolod. Ugyanazt a szöget kell kapnod – csak más úton.
Kidolgozott példa · a = 21 cm, b = 28 cm, c = 35 cm
Mekkora az α szög? Számold ki mind a három függvénnyel!
- Szinusszal (szemközti befogó és átfogó):sin α = 2135 = 0,6 → α = 36,87°
- Koszinusszal (melletti befogó és átfogó):cos α = 2835 = 0,8 → α = 36,87°
- Tangenssel (a két befogó):tg α = 2128 = 0,75 → α = 36,87°
- Ellenőrzés az azonossággal:0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1
Eredményα = 36,87° – mind a három út ugyanoda vezet.
A szögből visszafelé az inverz függvények vezetnek: sin-1, cos-1 és tg-1 (a számológépen gyakran asin, acos, atan, vagy a SHIFT gombbal érhetők el). Ezek az arányból adják a szöget, nem fordítva.
Melyiket mikor használd?
Nézd meg, melyik két oldal szerepel a feladatban: az egyik, amit ismersz, a másik, amit keresel. A táblázat ezután megmondja a függvényt.
| Ismered | Keresed | Használd | Az egyenlet |
|---|---|---|---|
| átfogó | szemközti befogó | szinusz | a = c · sin α |
| átfogó | melletti befogó | koszinusz | b = c · cos α |
| szemközti befogó | átfogó | szinusz | c = asin α |
| melletti befogó | szemközti befogó | tangens | a = b · tg α |
| mindkét befogó | a szöget | tangens | α = tg-1(ab) |
| egy befogó és az átfogó | a szöget | szinusz vagy koszinusz | α = sin-1(ac) |
Kidolgozott példa · Átfogó c = 24 cm, α = 55°
Mekkora az α szög melletti befogó?
- Az átfogót ismerem, a melletti befogót keresem – ez a koszinusz esete:cos α = bc
- Átrendezve szorzás lesz belőle:b = c · cos α = 24 · cos 55°
- Behelyettesítve (cos 55° = 0,5736):b = 24 · 0,5736 = 13,77 cm
Eredményb = 13,77 cm
Hogyan viselkedik a három függvény?
Ahogy a szög 0°-tól 90° felé nő, a szinusz nő, a koszinusz csökken, a tangens pedig minden határon túl nő. Ezt érdemes fejben tartani, mert azonnal kiszúrod vele a hibás eredményt.
| Szög | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,8660 | 0,5774 |
| 45° | 0,7071 | 0,7071 | 1 |
| 60° | 0,8660 | 0,5 | 1,7321 |
| 90° | 1 | 0 | nem értelmezett |
A 45° a fordulópont: itt egyenlő a szinusz és a koszinusz, a tangens pedig pontosan 1. Ez alatt a koszinusz a nagyobb, felette a szinusz. A pontos, gyökös alakokról a nevezetes szögfüggvények oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszögben ismered a két befogót, és a szöget keresed. Melyik függvény kell?
Mennyi tg 45°, és miért?
Igaz-e, hogy cos 70° > cos 40°?
Gyakori kérdések
Mi a különbség a szinusz és a koszinusz között?
Mindkettő az átfogóhoz viszonyít, de a szinusz a szemközti, a koszinusz a melletti befogót osztja az átfogóval. Ugyanabban a háromszögben a két hegyesszögre felcserélődnek: sin α = cos β, ha α + β = 90°.
Mikor kell tangenst használni?
Akkor, ha a feladatban csak a két befogó szerepel, az átfogó nem. Tipikus eset a lejtő, az emelkedő vagy az árnyékhossz: ott a vízszintes és a függőleges távolság aránya adott.
Mit jelent a sin, cos, tg rövidítés?
A latin sinus, cosinus és tangens szavak rövidítései. Magyar számológépen a tangens gyakran tan néven szerepel – ugyanaz a függvény, mint a tg.
Hogyan kapom vissza a szöget az arányból?
Az inverz függvényekkel: α = sin-1(0,6) = 36,87°. A számológépen ez a SHIFT + sin (vagy asin) gomb. Ügyelj rá, hogy a gép fok (DEG) módban legyen.
Lehet-e a szinusz nagyobb, mint 1?
Hegyesszögre nem, mert a szemközti befogó mindig rövidebb az átfogónál. Az egységkörön kiterjesztve a szinusz -1 és 1 közé esik, de ezt a sávot sosem lépi túl.
Miért ugyanaz az arány kis és nagy háromszögben?
Mert az azonos szögű derékszögű háromszögek hasonlók, a hasonlóság pedig megőrzi az oldalak arányát. Ezért függ a szögfüggvény értéke csak a szögtől, a háromszög méretétől nem.