Szögfüggvények feladatok – megoldással, lépésenként

Q: Hogyan számolok szöget arányból?

Az inverz függvényekkel: sin^(-1), cos^(-1), tg^(-1) – a számológépen ezek a SHIFT (vagy 2nd) gombbal érhetők el. Például tg^(-1)(0,5333) = 28,07°.

Ellenőrizd a megoldásaidat

Add meg a derékszögű háromszög két ismert adatát – a hiányzó oldalak és szögek azonnal megjelennek.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A megoldás négy lépése

Ezt csináld minden feladatnál

Rajzold le és jelöld beÍrd rá az ábrára, amit tudsz, és kérdőjelezd meg, amit keresel. A feladatok fele azért nem sikerül, mert nincs ábra.
Válaszd ki a szögetAzt a hegyesszöget, amelyikről tudsz valamit, vagy amelyiket keresed. A derékszög soha nem ez a szög.
Nevezd el az oldalakatA kiválasztott szöghöz képest: szemközti befogó, melletti befogó, átfogó (ez utóbbi mindig a derékszöggel szemközti).
Válassz függvényt és rendezzAz a függvény kell, amelyikben az ismert és a keresett oldal szerepel. Ha a keresett a számlálóban van, szorozz; ha a nevezőben, ossz.

1. feladat – hiányzó oldalak az átfogóból és egy szögből

Kidolgozott példa · c = 20 cm átfogó, α = 36°

Számítsd ki a derékszögű háromszög két befogóját!

Az α szöggel szemközti befogó a szinuszból jön:a = c · sin α = 20 · sin 36°
Behelyettesítve (sin 36° = 0,5878):a = 20 · 0,5878 = 11,76 cm
A melletti befogó a koszinuszból:b = c · cos α = 20 · 0,8090 = 16,18 cm
Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:11,76² + 16,18² = 138,3 + 261,8 = 400,1 ~ 20²

Eredménya = 11,76 cm és b = 16,18 cm

2. feladat – hiányzó szög két befogóból

Kidolgozott példa · a = 8 cm és b = 15 cm befogók

Mekkorák a háromszög hegyesszögei és az átfogó?

Csak a két befogót ismerem, tehát tangens kell:tg α = ab = 815 = 0,5333
Inverz tangenssel (a számológépen SHIFT + tan):α = tg^-1(0,5333) = 28,07°
A másik hegyesszög a 90°-ból marad:β = 90° − 28,07° = 61,93°
Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √8² + 15² = √289 = 17 cm

Eredményα = 28,07°, β = 61,93°, c = 17 cm

3. feladat – szöveges feladat (csúszda)

Kidolgozott példa · Egy 8 m hosszú csúszda 25°-os szöget zár be a vízszintes talajjal

Milyen magasan van a csúszda teteje, és mekkora vízszintes helyet foglal el?

A csúszda az átfogó, a magasság a 25°-os szöggel szemközti befogó:m = 8 · sin 25° = 8 · 0,4226
Vagyis a magasság:m = 3,38 m
A vízszintes távolság a melletti befogó:v = 8 · cos 25° = 8 · 0,9063 = 7,25 m

EredményA csúszda teteje 3,38 m magasan van, és 7,25 m hosszan nyúlik el a talajon.

Szöveges feladatnál mindig kérdezd meg: melyik adat az átfogó? Ami „ferdén” szerepel – létra, csúszda, kötél, huzal, napsugár –, az szinte mindig az átfogó, a magasság és a vízszintes távolság pedig a két befogó.

4. feladat – emelkedő százalékból fokba

Kidolgozott példa · Egy útszakasz emelkedése 7%

Hány fokos szöget zár be az út a vízszintessel?

A 7% azt jelenti, hogy 100 m vízszintes távolságon 7 m-t emelkedünk. Ez a két befogó aránya:tg α = 7100 = 0,07
Inverz tangenssel:α = tg^-1(0,07) = 4,00°

Eredményα ~ 4° – a 7%-os emelkedő tehát alig 4 fokos.

5. feladat – egyenlő szárú háromszög szögei

Nem derékszögű háromszögnél a magasság behúzása menti meg a feladatot: két derékszögű részháromszögre vágja az alakzatot, és azokban már működnek a szögfüggvények.

Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög: alap 12 cm, szár 10 cm

Mekkorák a háromszög szögei?

Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, tehát a részháromszög melletti befogója 6 cm, az átfogója a 10 cm-es szár:cos α = 610 = 0,6
Az alapon fekvő szög:α = cos^-1(0,6) = 53,13°
A szárszög a belső szögek összegéből:γ = 180° − 2 · 53,13° = 73,74°
A magasság ellenőrzésül Pitagorasz-tétellel:m = √10² − 6² = √64 = 8 cm

EredményAz alapon fekvő szögek 53,13°-osak, a szárszög 73,74°-os.

Ha a háromszögnek egyáltalán nincs derékszöge és nem is szimmetrikus, akkor a szinusztétel vagy a koszinusztétel a következő lépés.

Önellenőrző kérdések

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó 9 cm, és α = 30°. Mekkora az átfogó?

A keresett mennyiség a nevezőben van, tehát osztás: c = 9sin 30° = 90,5 = 18 cm.

Miért nem jó megoldás, ha sin α = 1,25 jön ki?

Mert hegyesszög szinusza legfeljebb 1 lehet – a szemközti befogó nem lehet hosszabb az átfogónál. Valószínűleg felcserélted a számlálót és a nevezőt.

Egy 15 m magas fa árnyéka 15 m hosszú. Milyen magasan áll a nap?

tg α = 1515 = 1, tehát α = 45°. Ha az árnyék pont olyan hosszú, mint a tárgy, a szög mindig 45°.

Melyik függvényt válaszd, ha az átfogót és a keresett szög melletti befogót ismered?

A koszinuszt: cos α = mellettiátfogó, majd inverz koszinusszal kapod a szöget.

Gyakori kérdések

Milyen szögfüggvényes feladatok szerepelnek a dolgozatokban?

Öt típus adja a feladatok döntő többségét: hiányzó oldal szögből, hiányzó szög két oldalból, szöveges feladat (létra, árnyék, csúszda), lejtő vagy emelkedő százalékból, és egyenlő szárú háromszög szögeinek kiszámítása magasság behúzásával.

Honnan tudom, melyik szögfüggvényt kell használni?

Nézd meg, melyik két oldal szerepel: az ismert és a keresett. Ha az átfogó is köztük van, szinusz (szemközti befogóval) vagy koszinusz (melletti befogóval) kell; ha csak a két befogó, akkor tangens.

Hogyan számolok szöget arányból?

Az inverz függvényekkel: sin^-1, cos^-1, tg^-1 – a számológépen ezek a SHIFT (vagy 2nd) gombbal érhetők el. Például tg^-1(0,5333) = 28,07°.

Mit tegyek, ha a háromszög nem derékszögű?

Vagy húzz be egy magasságot, és dolgozz a keletkező derékszögű részháromszögekkel, vagy használd a szinusztételt (oldal–szemközti szög párok) és a koszinusztételt (két oldal és a közbezárt szög).

Miért ad más eredményt a számológépem?

Szinte biztosan radián módban van. Állítsd DEG (fok) állásba, és ellenőrizd a sin 30°-tal: pontosan 0,5-nek kell kijönnie.

Szögfüggvények feladatok megoldással