Négyszögek
A paralelogramma területének képlete
A képlet egyszerű, a buktató a magasságban van: minden alaphoz saját magasság tartozik, és a ferde oldal soha nem az. Itt a képlet mindhárom alakja szerepel, az átrendezéseivel együtt.
Röviden a válasz
A paralelogramma területének képlete T = a · m, ahol a az alap, m pedig a hozzá tartozó magasság: a két párhuzamos oldal közötti merőleges távolság. Ha a = 16 cm és m = 7 cm, akkor T = 112 cm².
A képlet másik alakja T = a · b · sin α – ezt akkor használod, ha a két oldalt és a közbezárt szöget ismered, magasságot viszont nem adtak meg. Átlókból pedig T = e · f · sin φ2.
A képlet működés közben
Alap és magasság, vagy két oldal és a közbezárt szög – a kalkulátor mindkét alakot ismeri.
Alap és a hozzá tartozó magasság – vagy két oldal és a közbezárt szög.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- m magasság
- –
- Szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet három alakja
A három alak ugyanazt a területet adja, csak más bemenettel dolgozik. A jelölésekben tankönyvenként lehet eltérés: az alapot néha a helyett „alapél" néven emlegetik, a magasságot pedig m helyett h vagy ma betűvel jelölik. A lényeg mindig ugyanaz: egy oldal és a rá merőleges távolság szorzata.
Melyik magasság melyik alaphoz tartozik?
A paralelogrammának két magassága van, mert két különböző oldalpárja van. A képletbe csak összetartozó párt szabad behelyettesíteni: az a alaphoz az ma, a b oldalhoz az mb magasság.
Kidolgozott példa · a = 16 cm, m = 7 cm, a másik oldal b = 14 cm
Mekkora a terület, és mekkora a b oldalhoz tartozó magasság?
- A terület az alapból és a hozzá tartozó magasságból:T = a · ma = 16 · 7 = 112 cm2
- A másik magasságot ugyanebből a területből kapod, csak a másik oldallal osztva:mb = Tb = 11214
- Az eredmény:mb = 8 cm
- Ellenőrzés a másik szorzattal:14 · 8 = 112 cm2
EredményT = 112 cm², mb = 8 cm
A képlet átrendezései
A T = a · m szorzat, tehát az átrendezés osztás. Két hiányos adat esetén ezekre lesz szükséged:
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 135 cm², a = 15 cm
Egy paralelogramma területe 135 cm², az alapja 15 cm. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
- A képletet a magasságra rendezed:m = Ta = 13515
- Az osztás elvégezve:m = 9 cm
- Ellenőrzés visszaszorzással:15 · 9 = 135 cm2
Eredménym = 9 cm
Ha nincs megadva magasság: a szinuszos alak
A harmadik lépcső akkor jön, ha a feladat két oldalt és a köztük lévő szöget adja meg. A magasság ilyenkor a ferde oldalból számolható: a szár, a magasság és az alap egy derékszögű háromszöget alkot, amelyben m = b · sin α. Ezt beírva a T = a · m képletbe kapjuk a szinuszos alakot.
Kidolgozott példa · a = 10 cm, b = 7 cm, α = 45°
Mekkora a paralelogramma területe?
- A képlet szinuszos alakja:T = a · b · sin α
- Behelyettesítve:T = 10 · 7 · sin 45°
- A szinusz értéke:sin 45° = 0,7071
- Az eredmény:T = 70 · 0,7071 = 49,5 cm2
EredményT = 49,5 cm²
A képlet rokonai
| Alakzat | Területképlet | Mi lép az oldal helyére |
|---|---|---|
| Téglalap | T = a · b | a másik oldal – mert merőleges |
| Paralelogramma | T = a · m | a magasság |
| Trapéz | T = a + c2 · m | a két párhuzamos oldal átlaga |
| Rombusz | T = a · m = e · f2 | magasság vagy a két átló |
Innen látszik, hogy a paralelogramma képlete a téglalapé „megdöntve": ha egy téglalapot a magasságának megtartásával elferdítesz, a területe nem változik. A levezetést és a gyakorlati példákat a paralelogramma területe oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy paralelogramma alapja 12 cm, a hozzá tartozó magassága 5 cm, a ferde oldala 6 cm. Mekkora a területe?
Hogyan fejezed ki a magasságot a T = a · m képletből?
Miért egyenlő az a · ma és a b · mb szorzat?
Gyakori kérdések
Mi a paralelogramma területének képlete?
T = a · m, vagyis az alap és a hozzá tartozó magasság szorzata. Ha az alap 16 cm, a magasság 7 cm, akkor T = 112 cm². Ha magasság helyett két oldal és a közbezárt szög ismert, a T = a · b · sin α alakot használd.
Miért nem a két oldalt szorzom össze?
Mert a paralelogramma szomszédos oldalai nem merőlegesek egymásra. A területhez egy oldal és a rá merőleges távolság kell. A ferde oldal mindig hosszabb a magasságnál, ezért az oldalak szorzata túl nagy eredményt ad.
Melyik magasságot kell behelyettesíteni?
Azt, amelyik a választott alaphoz tartozik: T = a · ma vagy T = b · mb. A két szorzat ugyanazt az értéket adja, tehát a választás szabad – csak keverni nem szabad őket.
Hogyan rendezem át a képletet a magasságra?
Osztással: m = Ta. Ha a terület 135 cm² és az alap 15 cm, akkor m = 9 cm. Az alapra ugyanígy: a = Tm.
Mi a különbség a paralelogramma és a téglalap területképlete között?
Csak annyi, hogy a téglalapnál a második tényező is oldal (T = a · b), mert ott a szomszédos oldalak merőlegesek. A paralelogrammánál ennek a helyére lép a magasság (T = a · m). Ugyanaz a képlet, más bemenettel.