MatematikaMódszertan– főoldal

Kerület

Egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítása

A kerület képlete adott (K = a + 2b), a feladat viszont ritkán adja meg mindkét oldalt. Itt az szerepel, hogyan pótold a hiányzó alapot vagy szárat magasságból, szögből vagy területből.

Frissítve: 2 perc olvasás8–12. osztály

Röviden a válasz

Az egyenlő szárú háromszög kerülete K = a + 2b. Ha az egyik oldal hiányzik, a magasság segít: a magasság felezi az alapot, így a fél alap, a magasság és a szár derékszögű háromszöget alkot, amiben Pitagorasz-tétel működik.

Például 24 cm alap és 5 cm magasság esetén a szár √122 + 52 = 13 cm, tehát K = 24 + 2 · 13 = 50 cm. Szögből a szár b = a / 2cos α, területből pedig előbb a magasságot kapod meg.

Egyenlő szárú háromszög kalkulátor

Bármelyik két adat elég: alap, szár, magasság, alapon fekvő szög vagy szárszög – a kerület kiemelve jelenik meg.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Bemeneti adatok
a = 24 cmb = 13 cmc = 13 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    A kulcs: a magasság kettévágja a háromszöget

    Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben szimmetriatengely: felezi az alapot és a szárszöget is. Ezért a háromszög két egybevágó derékszögű darabra esik, amelyekben a befogók a fél alap és a magasság, az átfogó pedig a szár.

    maa = 24 cmb = 13 cmc = 13 cmABC
    A magasság felezi a 24 cm-es alapot: két 12-5-13 cm-es derékszögű háromszög jön létre.
    A szár a fél alapból és a magasságbólb = √(a2)2 + m2
    A fél alap a szárból és a magasságbóla2 = √b2 − m2
    A kerületK = a + 2 · b

    Kerület alapból és magasságból

    Kidolgozott példa · Alap: 24 cm, magasság: 5 cm

    Mekkora a kerület?

    1. A fél alap:242 = 12 cm
    2. A szár Pitagorasz-tétellel:b = √122 + 52 = √144 + 25 = √169
    3. Vagyis:b = 13 cm
    4. A kerület:K = 24 + 2 · 13 = 50 cm

    EredményK = 50 cm

    Kerület szárból és szögből

    Ha szöget adnak meg, két esetet kell megkülönböztetni. A szárszög a két szár közötti szög (a csúcsnál), az alapon fekvő szög pedig az alap és a szár között van. A kettő kapcsolata: β = 180° − α2, ahol α a szárszög.

    Az alap a szárból és a szárszögbőla = 2 · b · sin(α2)
    A szár az alapból és az alapon fekvő szögbőlb = a / 2cos β

    Kidolgozott példa · Szár: 9 cm, szárszög: 40°

    Mekkora a kerület?

    1. A magasság felezi a szárszöget, így a fél szárszög 20°. A fél alap:a2 = 9 · sin 20° = 9 · 0,3420 = 3,08 cm
    2. A teljes alap:a = 2 · 3,08 = 6,16 cm
    3. A kerület:K = 6,16 + 2 · 9 = 24,16 cm

    EredményK = 24,16 cm

    Kidolgozott példa · Alap: 12 cm, alapon fekvő szög: 70°

    Mekkora a kerület?

    1. A fél alap 6 cm, és ez a 70°-os szög melletti befogó:cos 70° = 6b
    2. Átrendezve:b = 60,3420 = 17,54 cm
    3. A kerület:K = 12 + 2 · 17,54 = 47,09 cm

    EredményK = 47,09 cm

    αβγabcABC

    Kerület területből

    Ha a terület és az alap adott, a magasság egy osztással kijön (m = 2 · Ta), onnan pedig már az ismerős Pitagorasz-tétel következik.

    Kidolgozott példa · Alap: 14 cm, terület: 168 cm²

    Mekkora a kerület?

    1. A magasság a területből:m = 2 · 16814 = 24 cm
    2. A fél alap 7 cm, így a szár:b = √72 + 242 = √49 + 576 = √625
    3. Vagyis:b = 25 cm
    4. A kerület:K = 14 + 2 · 25 = 64 cm

    EredményK = 64 cm

    Az egyenlő szárú derékszögű eset – az átfogó

    Ha a szárszög éppen 90°, a két szár a két befogó, az alap pedig az átfogó. Ilyenkor az alap a szár √2-szerese, mert b2 + b2 = a2.

    Egyenlő szárú derékszögű háromszög kerületeK = 2 · b + b · √2Itt b a szár (a befogó), b · √2 pedig az átfogó, azaz az alap.

    Kidolgozott példa · Szár (befogó): 6 cm, szárszög 90°

    Mekkora az átfogó és a kerület?

    1. Az átfogó:a = 6 · √2 = 6 · 1,4142 = 8,49 cm
    2. A kerület:K = 6 + 6 + 8,49 = 20,49 cm

    EredményK = 20,49 cm

    Ha mindkét oldal adott, és csak össze kell adni őket, akkor az egyenlő szárú háromszög kerülete oldalon rövidebb úton is célhoz érsz.

    Gyors önellenőrzés

    Az alap 16 cm, a magasság 15 cm. Mekkora a kerület?
    A szár √82 + 152 = 17 cm, tehát K = 16 + 34 = 50 cm.
    A szár 10 cm, a szárszög 60°. Mekkora a kerület?
    60°-os szárszögnél a háromszög szabályos, tehát az alap is 10 cm, a kerület 30 cm.
    Az alap 20 cm, a terület 120 cm². Mekkora a kerület?
    A magasság 2 · 12020 = 12 cm, a szár √102 + 122 = 15,62 cm, tehát K = 51,24 cm.
    Miért nem elég a szárszög önmagában a kerülethez?
    Mert a szög csak az alakot rögzíti, a méretet nem. Ugyanolyan szárszöggel végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög létezik – kell melléjük legalább egy hosszúságadat is.

    Gyakori kérdések

    Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög kerületét, ha a szár hiányzik?

    A magasság felezi az alapot, így a szár b = √(a2)2 + m2. Például 24 cm alap és 5 cm magasság esetén a szár 13 cm, a kerület 50 cm.

    Hogyan kapom meg az alapot, ha a szárat és a szárszöget ismerem?

    a = 2 · b · sin(α2), mert a magasság felezi a szárszöget. 9 cm szár és 40°-os szárszög mellett az alap 6,16 cm, a kerület 24,16 cm.

    Hogyan számolom ki a szárat az alapon fekvő szögből?

    A fél alap a szög melletti befogó, ezért b = a / 2cos β. 12 cm alap és 70°-os alapon fekvő szög esetén a szár 17,54 cm.

    Ki lehet számolni a kerületet a területből?

    Ha az alapot is tudod, igen. Előbb m = 2 · Ta, majd Pitagorasz-tétellel a szár. 14 cm alap és 168 cm² terület mellett a szár 25 cm, a kerület 64 cm.

    Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója és kerülete?

    Az átfogó a befogó √2-szerese, tehát K = 2b + b · √2. 6 cm-es befogóknál az átfogó 8,49 cm, a kerület 20,49 cm.

    Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög szögeit?

    A két alapon fekvő szög egyenlő, ezért ha a szárszög α, akkor β = γ = 180° − α2. Fordítva: α = 180° − 2β.

    Hova tovább?

    Egyenlő szárú háromszög kerületeAz egyenlő szárú háromszög kerülete K = a + 2b: az alap plusz a szár kétszerese. Kalkulátor, vis…Szabályos háromszög kerületeA szabályos háromszög kerülete K = 3a, mert mindhárom oldala egyenlő. Kalkulátor, visszafelé szá…Egyenlő szárú háromszög magasságaAz egyenlő szárú háromszög magassága a szárból és a fél alapból, Pitagorasz-tétellel jön ki. Kép…Az alap kiszámításaAz egyenlő szárú háromszög alapja kiszámolható a szárból és a magasságból, a kerületből, a terül…Egyenlő szárú háromszög oldalaiEgyenlő szárú háromszög szárának és alapjának kiszámítása magasságból, szögből, kerületből. A sz…Egyenlő szárú háromszög szárszögeA szárszög a két egyenlő szár által bezárt szög. Így számolod ki az alapon fekvő szögből, az ala…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.