Oldalak kiszámítása
Háromszög átfogó
Ez az oldal egy félreértést tisztáz: a „háromszög átfogója" csak akkor értelmes, ha a háromszög derékszögű. Ha nem az, más képlet kell a leghosszabb oldalhoz.
Röviden a válasz
Az átfogó kizárólag derékszögű háromszögben létezik: a derékszöggel szemközti oldal. Ott c = √a2 + b2.
Ha a háromszög nem derékszögű, nincs átfogója – ilyenkor a keresett oldal a koszinusztétellel jön ki: c = √a2 + b2 − 2ab · cos γ. A derékszögnél cos 90° = 0, és ez épp visszaadja a Pitagorasz-tételt.
A harmadik oldal kiszámítása
Két oldal és a közbezárt szög elég. Ha a szög 90°, a kalkulátor a Pitagorasz-tételt adja vissza – ekkor a c oldal az átfogó.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik háromszögnek van átfogója?
Csak a derékszögűnek. Az „átfogó" és a „befogó" szó a derékszöghöz kötődik: a derékszög két szára a befogó, a vele szemközti oldal az átfogó. Hegyesszögű vagy tompaszögű háromszögben ezek a szavak értelmüket vesztik, ott egyszerűen a, b és c oldalakról beszélünk.
A gyakorlatban ez könnyen ellenőrizhető: nézd meg, van-e 90°-os szög a feladatban, vagy van-e derékszögjel a rajzon. Ha nincs, és a feladat mégis „átfogót" említ, valószínűleg pongyolán fogalmaz, és a leghosszabb oldalra gondol.
Derékszögű eset: Pitagorasz-tétel
A képlet konkrét alkalmazásait, a számhármasokat és a kerekítés kérdéseit külön oldalak tárgyalják: nézd meg az átfogó gyors számolását és az átfogó kiszámítását minden bemenő adatra.
Ha nem derékszögű: koszinusztétel
A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel kiterjesztése tetszőleges háromszögre. Egy korrekciós tagot ad hozzá, amely azt méri, mennyivel tér el a szög a derékszögtől.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 9 cm, közbezárt szög γ = 110°
Mekkora a harmadik, egyben leghosszabb oldal?
- Behelyettesítés:c2 = 72 + 92 − 2 · 7 · 9 · cos 110°
- A cos 110° = -0,342, tehát a kivonandó negatív:c2 = 49 + 81 − 126 · (-0,342)
- A negatív előjel miatt hozzáadunk:c2 = 130 + 43,09 = 173,09
- Gyököt vonva:c = 13,16 cm
Eredményc = 13,16 cm
Vesd össze: ha ugyanez a szög 90° lenne, az oldal √49 + 81 = 11,4 cm-re jönne ki. A 110°-os szög „szétnyitja" a háromszöget, ezért lesz hosszabb a szemközti oldal. Ez a szemlélet segít eldönteni, hogy hihető-e a kapott érték.
| A közbezárt szög | A használandó képlet | Elnevezés |
|---|---|---|
| γ = 90° | c = √a2 + b2 | a c oldal az átfogó |
| γ < 90° | c = √a2 + b2 − 2ab · cos γ | nincs átfogó, csak c oldal |
| γ > 90° | c = √a2 + b2 + 2ab · |cos γ| | nincs átfogó, de c a leghosszabb |
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 6, 7 és 12 cm. Melyik az átfogója?
Miért adja vissza a koszinusztétel a Pitagorasz-tételt derékszögnél?
Egy háromszögben két oldal 4 és 10 cm, a közbezárt szög 60°. Mekkora a harmadik oldal?
Gyakori kérdések
Minden háromszögnek van átfogója?
Nincs. Átfogója csak a derékszögű háromszögnek van: ez a derékszöggel szemközti oldal. Más háromszögeknél csak oldalakról beszélünk, még akkor is, ha van köztük leghosszabb.
Hogyan számolom ki a háromszög átfogóját?
Ha derékszögű, a Pitagorasz-tétellel: c = √a2 + b2. Ha nem derékszögű, akkor nincs átfogó, és a keresett oldal a koszinusztétellel jön ki.
Mi a különbség a befogó és az átfogó között?
A befogók a derékszöget közrefogó oldalak, az átfogó pedig a derékszöggel szemközti, mindig leghosszabb oldal. A Pitagorasz-tétel a két befogó négyzetösszegét köti az átfogó négyzetéhez.
Van-e átfogó kalkulátor általános háromszögre?
Az oldal tetején lévő kalkulátor bármely háromszöggel elboldogul: két oldalból és a közbezárt szögből kiszámolja a harmadik oldalt. Ha a megadott szög 90°, az eredmény épp az átfogó lesz.
Honnan tudom, hogy derékszögű-e a háromszög?
Ha ismered a három oldalt, ellenőrizd a leghosszabbra, hogy c2 = a2 + b2 teljesül-e. Ha igen, derékszögű, és a leghosszabb oldal az átfogó.