Háromszög kerületének kiszámítása hiányzó oldallal

Q: Mi a különbség a Pitagorasz-tétel és a koszinusztétel között?

A koszinusztétel az általánosabb: c² = a² + b² - 2 a b · cos γ. Derékszögnél cos 90° = 0, így a levonandó tag eltűnik, és megkapod a c² = a² + b² alakot. A Pitagorasz-tétel tehát a koszinusztétel derékszögű esete.

Kerület hiányos adatokból

Elég három adat, amiből legalább egy oldal – a hiányzó oldalakat és a kerületet is megkapod.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Miért nem elég az összeadás?

A kerület képlete önmagában triviális: K = a + b + c. A feladatok viszont szinte soha nem adják oda mind a három oldalt – ha odaadnák, nem lenne mit számolni. A tényleges munka az, hogy a megadott adatokból előállítod a hiányzó oldalt, és csak a végén adsz össze.

Ez a táblázat megmondja, melyik esetben melyik eszközt vedd elő. A bal oszlopban az áll, amit a feladat megad:

Melyik adatból melyik tétellel jön ki a hiányzó oldal
Amit ismersz	Amivel a hiányzó oldal kijön	Képlet
Két befogó, derékszög	Pitagorasz-tétel	c = √a² + b²
Átfogó és egy befogó	Pitagorasz-tétel átrendezve	b = √c² − a²
Két oldal és a közbezárt szög	Koszinusztétel	c = √a² + b² − 2 a b · cos γ
Egy oldal és két szög	Szinusztétel	b = a · sin βsin α
Egyenlő szárú: alap és szár	Nem kell tétel	K = a + 2b
Szabályos: egy oldal	Nem kell tétel	K = 3a

Derékszögű háromszög: előbb az átfogó

Ez a leggyakoribb eset. Ha a két befogó ismert, a Pitagorasz-tétel adja az átfogót, és onnan egy összeadás a kerület.

Kidolgozott példa · Befogók: 8 cm és 15 cm

Mekkora a derékszögű háromszög kerülete?

Az átfogó a Pitagorasz-tételből:c = √8² + 15² = √64 + 225
A gyök alatt:c = √289 = 17 cm
Most már mind a három oldal megvan:K = 8 + 15 + 17 = 40 cm

EredményK = 40 cm

Fordított irányban ugyanígy megy: ha az átfogó és az egyik befogó ismert, a másik befogó b = √c² − a². Erről részletesen a derékszögű háromszög kerülete oldalon olvashatsz, az oldalak előállításáról pedig a háromszög átfogó számítás oldalon.

Két oldal és a közbezárt szög: koszinusztétel

Ha a háromszög nem derékszögű, a Pitagorasz-tétel nem használható – helyette a koszinusztétel jön, ami tulajdonképpen a Pitagorasz-tétel kiegészített változata.

Koszinusztételc² = a² + b² − 2 a b · cos γItt γ az a és b oldal által közbezárt szög. Ha γ = 90°, akkor cos γ = 0, és pontosan a Pitagorasz-tételt kapod vissza.

Kidolgozott példa · a = 5 cm, b = 8 cm, γ = 60°

Számítsd ki a háromszög kerületét!

A hiányzó oldal a koszinusztételből:c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60°
Mivel cos 60° = 0,5:c² = 25 + 64 − 80 · 0,5 = 89 − 40 = 49
Gyökvonás:c = √49 = 7 cm
A kerület:K = 5 + 8 + 7 = 20 cm

EredményK = 20 cm

Egy oldal és két szög: szinusztétel

Ha csak egyetlen oldalt kaptál, de mellé két szöget, a harmadik szög azonnal adódik (α + β + γ = 180°), a hiányzó két oldal pedig a szinusztételből:

Szinusztételasin α = bsin β = csin γEgy ismert oldal–szög pár már megadja a közös arányt, abból minden további oldal egy szorzás.

Például a = 9 cm, α = 60° és β = 45° esetén γ = 75°, innen b = 9 · sin 45°sin 60° = 7,35 cm és c = 9 · sin 75°sin 60° = 10,04 cm, tehát K = 26,39 cm. A módszer részletei a háromszög oldalainak kiszámítása szögekből oldalon vannak.

Ellenőrizd a végeredményt

A kiszámolt oldalra mindig fut le két gyors teszt. Egy: a háromszög-egyenlőtlenség – bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Kettő: a leghosszabb oldal a legnagyobb szöggel szemben van. A 20 cm-es példában c = 7 a 60°-os szöggel szemben áll, és tényleg a középső hosszúságú oldal.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög átfogója 25 cm, egyik befogója 7 cm. Mekkora a kerülete?

A másik befogó √25² − 7² = √625 − 49 = √576 = 24 cm, így K = 7 + 24 + 25 = 56 cm.

Miért nem használhatod a Pitagorasz-tételt, ha a megadott szög 70°?

Mert a Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögre igaz. 70°-nál koszinusztétel kell: c² = a² + b² − 2 a b · cos 70°.

Egy háromszög két oldala 6 cm és 10 cm. Lehet-e a kerülete 32 cm?

Nem. Akkor a harmadik oldal 32 − 16 = 16 cm lenne, de 6 + 10 = 16, ami nem nagyobb 16-nál. A háromszög-egyenlőtlenség sérül, tehát ilyen háromszög nem létezik. A kerület itt legfeljebb 32 cm-hez tarthat, de el nem érheti.

Gyakori kérdések

Hogyan számolod ki a háromszög kerületét, ha csak két oldal ismert?

Kell hozzá még egy adat. Ha a két oldal befogó és a háromszög derékszögű, Pitagorasz-tétellel jön az átfogó. Ha ismered a két oldal által közbezárt szöget, koszinusztételt használj. Két oldalból, minden további információ nélkül a kerület nem meghatározható.

Kell-e szög a kerület kiszámításához?

Magához a kerülethez nem, mert az csak a három oldal összege. A szögre csak akkor van szükség, ha valamelyik oldal hiányzik, és azt koszinusz- vagy szinusztétellel kell előállítani.

Mi a különbség a Pitagorasz-tétel és a koszinusztétel között?

A koszinusztétel az általánosabb: c² = a² + b² − 2 a b · cos γ. Derékszögnél cos 90° = 0, így a levonandó tag eltűnik, és megkapod a c² = a² + b² alakot. A Pitagorasz-tétel tehát a koszinusztétel derékszögű esete.

Milyen mértékegységben kapom meg a kerületet?

Ugyanabban, amiben az oldalak vannak – centiméterben, méterben, milliméterben. A kerület hosszúság, tehát soha nem négyzetes egység. Ha az adatok vegyes egységben érkeznek, számolás előtt válts át mindet ugyanarra.

Ki lehet-e számolni a kerületet a területből?

Önmagában nem. Ugyanakkora területhez végtelen sok különböző kerületű háromszög tartozik. Legalább két oldal vagy egy oldal és egy szög is kell hozzá, hogy a háromszög egyértelmű legyen.