A kör
Kör kerülete és területe – feladatok megoldással
A dolgozatban négyféle kiindulás fordul elő: adott a sugár, adott az átmérő, adott a kerület vagy adott a terület. Itt mind a négyre látsz teljes megoldást, utána pedig szöveges és összetett feladatokat.
Röviden a válasz
Minden körös feladat két képletre vezethető vissza: K = 2 · r · π és T = r2 · π. Ha nem a sugarat adják meg, az első lépés mindig ugyanaz: számold ki a sugarat, és onnan már behelyettesítés az egész.
Kerületből r = K2 · π, területből r = √Tπ, átmérőből pedig r = d2. Az alábbi hét feladat végig ezt a menetet mutatja, mindegyik π ≈ 3,14-dal számolva.
Ellenőrző kalkulátor
Számold ki a feladatokat papíron, aztán írd be ide az adatot, és nézd meg, egyezik-e. Bármelyik mező tölthető: r, d, K vagy T.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A négy képlet, amiből minden feladat kijön
Alapfeladatok: adott a sugár vagy az átmérő
Kidolgozott példa · 1. feladat – r = 17 cm
Számítsd ki a 17 cm sugarú kör kerületét és területét! (π ≈ 3,14)
- A kerület a sugár és 2π szorzata:K = 2 · 17 · 3,14 = 34 · 3,14
- Elvégezve a szorzást:K = 106,76 cm
- A területhez előbb a sugár négyzete kell:r2 = 172 = 289 cm2
- Ezt szorzod π-vel:T = 289 · 3,14 = 907,46 cm2
EredményK = 106,76 cm, T = 907,46 cm²
Kidolgozott példa · 2. feladat – d = 42 cm
Egy kör átmérője 42 cm. Mekkora a kerülete és a területe? (π ≈ 3,14)
- A kerülethez nem is kell a sugár, van rá kész alak:K = d · π = 42 · 3,14 = 131,88 cm
- A területhez viszont sugár kell, ezért felezz:r = 422 = 21 cm
- Most jöhet a területképlet:T = 212 · 3,14 = 441 · 3,14
- Az eredmény:T = 1384,74 cm2
EredményK = 131,88 cm, T = 1384,74 cm²
Visszafelé: adott a kerület vagy a terület
Ezek a feladatok ugyanazok, csak fordított irányban. Ne új képletet keress, hanem rendezd át azt, amelyik tartalmazza az ismert adatot.
Kidolgozott példa · 3. feladat – K = 138,16 cm
Egy kör kerülete 138,16 cm. Mekkora a sugara és a területe? (π ≈ 3,14)
- A K = 2 · r · π képletet rendezd át a sugárra:r = K2 · π = 138,166,28
- Az osztás elvégezve:r = 22 cm
- Innen a terület már sima behelyettesítés:T = 222 · 3,14 = 484 · 3,14
- Az eredmény:T = 1519,76 cm2
Eredményr = 22 cm, T = 1519,76 cm²
Kidolgozott példa · 4. feladat – T = 3846,5 cm²
Egy kör területe 3846,5 cm². Mekkora a sugara és a kerülete? (π ≈ 3,14)
- A T = r2 · π képletből előbb a sugár négyzetét kapod meg:r2 = Tπ = 3846,53,14 = 1225 cm2
- Ebből gyökvonással jön a sugár:r = √1225 = 35 cm
- A kerület ezután egy szorzás:K = 2 · 35 · 3,14 = 219,8 cm
Eredményr = 35 cm, K = 219,8 cm
Szöveges feladatok
Kidolgozott példa · 5. feladat – focipálya kezdőköre
A focipálya közepén lévő kezdőkör sugara 9,15 m. Hány méter festék kell a körvonalához, és mekkora területet zár körbe? (π ≈ 3,14)
- A felfestett vonal hossza a kör kerülete:K = 2 · 9,15 · 3,14 = 18,3 · 3,14
- Vagyis:K = 57,46 m
- A körbezárt terület a területképletből:T = 9,152 · 3,14 = 83,7225 · 3,14
- Kerekítve két tizedesjegyre:T = 262,89 m2
EredményK = 57,46 m vonal, T = 262,89 m² terület
Figyeld meg a szövegben a kulcsszavakat: a „körvonal", „szegély", „kerítés", „felfestés" mindig kerület, a „terület", „felület", „mennyi fű", „mennyi festék a belsejébe" pedig mindig terület. A mértékegység is árulkodik: m a kerület, m² a terület.
Kidolgozott példa · 6. feladat – hány fordulatot tesz a kerék?
Egy kerék átmérője 60 cm. Hányat fordul, amíg 100 métert gurul? (π ≈ 3,14)
- Egy fordulat alatt a kerék annyit halad, amennyi a kerülete:K = d · π = 60 · 3,14 = 188,4 cm
- Hozd közös egységre a megtett utat:100 m = 10 000 cm
- A fordulatok száma az út és a kerület hányadosa:n = 10 000188,4 = 53,08
- Egész fordulatot kérdeztek, ezért lefelé kerekítesz.n ≈ 53
EredményA kerék 53 teljes fordulatot tesz meg (és még egy kicsit).
Összetett feladat: kör és négyzet
Kidolgozott példa · 7. feladat – négyzetbe írt kör
Egy 20 cm oldalú négyzetlapból kivágjuk a lehető legnagyobb kört. Mekkora a kör területe, és mennyi hulladék marad? (π ≈ 3,14)
- A legnagyobb kör átmérője éppen a négyzet oldala, ezért:d = 20 cm → r = 10 cm
- A kör területe:Tk = 102 · 3,14 = 314 cm2
- A négyzet területe:Tn = 202 = 400 cm2
- A hulladék a kettő különbsége:Th = 400 − 314 = 86 cm2
EredményA kör területe 314 cm², a hulladék 86 cm² – a lap 21,5 százaléka.
Ez a levágási arány minden méretnél ugyanannyi: a beírt kör mindig a négyzet területének π4 ≈ 78,5 százalékát foglalja el. A négyzet területéről a négyzet területe oldalon olvashatsz többet.
Gyors áttekintés – mit csinálj, ha…
| Ez van megadva | Első lépés | Utána |
|---|---|---|
| Sugár (r) | Semmi, indulhatsz. | K = 2 · r · π, T = r2 · π |
| Átmérő (d) | r = d2 | Kerülethez elég a K = d · π alak is. |
| Kerület (K) | r = K2 · π | Onnan T = r2 · π |
| Terület (T) | r = √Tπ | Onnan K = 2 · r · π |
| Félkör adatai | A teljes kört számold ki. | Kerület: r · π + 2 · r, terület: a fele. |
Gyors önellenőrzés
Egy kör sugarát megháromszorozod. Hányszorosára nő a kerülete és hányszorosára a területe?
Egy kör területe 78,5 cm². Mekkora a sugara? (π ≈ 3,14)
Miért nem adhatod meg a kerületet cm²-ben?
Gyakori kérdések
Hogyan kezdjek hozzá egy körös feladathoz?
Először írd fel, mi van megadva, és számold ki belőle a sugarat. Átmérőből felezéssel, kerületből r = K2 · π alakban, területből r = √Tπ képlettel. A sugár birtokában minden más egy behelyettesítés.
Mi a kör kerületének és területének a képlete?
K = 2 · r · π (vagy K = d · π), illetve T = r2 · π. A kerület hosszúságegységben jön ki (cm, m), a terület négyzetesben (cm², m²). Iskolai feladatban π helyére 3,14 kerül, és ezt a dolgozatban is tüntesd fel.
Milyen π értékkel számoljak a feladatokban?
Amit a feladat előír – ha nem ír semmit, a 3,14 a bevett választás, és ezzel készült az összes fenti megoldás is. Ha a feladat több tizedesjegyet vár, számolj 3,1416-tal vagy a számológép π gombjával. A pi számról külön oldalunk is van.
Hogyan számolok félkör kerületet?
A félkör kerülete nem a teljes kerület fele, mert az átmérő is a határoló vonal része: K = r · π + 2 · r. A területnél viszont tényleg felezel: T = r2 · π2. Ez a leggyakoribb csapda a vegyes feladatsorokban.
Honnan tudom, hogy kerületet vagy területet kérdeznek?
A szöveg igéjéből és a kért mértékegységből. „Mennyi szegély, kerítés, szalag, festék a körvonalra" – kerület. „Mekkora felület, hány m² fű, mennyi anyag a belsejébe" – terület. Ha a válaszban m² áll, biztosan területet kértek.