Négyszögek
A téglalap átlója
Az átló nem külön képlet, hanem a Pitagorasz-tétel egy téglalapba rajzolva. Ebből minden más következik: a négyzet átlója, a képernyőátló, és az is, hogy egy szekrény átfér-e az ajtón.
Röviden a válasz
A téglalap átlója e = √a2 + b2. Egy 24 cm × 7 cm-es téglalapnál ez √576 + 49 = √625 = 25 cm.
A képlet azért ilyen, mert az átló a két szomszédos oldallal derékszögű háromszöget alkot, amelyben az átló az átfogó. A téglalap két átlója egyenlő hosszú, és felezik egymást.
Átlókalkulátor
Írd be a két oldalt – vagy az egyik oldalt és az átlót, a területet, a kerületet –, és a hiányzó adatok is megjelennek.
Két adat elég: a két oldal, vagy egy oldal és a terület, kerület vagy átló.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- e átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az átló képlete és miért ez
Az átló tehát a derékszögű háromszög átfogója, a két oldal pedig a befogói. Ezért nem kell külön képletet megjegyezni: aki a Pitagorasz-tételt tudja, az a téglalap átlóját is tudja.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · a = 24 cm, b = 7 cm
Mekkora a téglalap átlója?
- A Pitagorasz-tétel az átlóra:e2 = a2 + b2
- Behelyettesítve:e2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625
- Gyököt vonsz:e = √625 = 25 cm
Eredménye = 25 cm
Kidolgozott példa · a = 30 cm, b = 16 cm
Mekkora ennek a téglalapnak az átlója?
- A két oldal négyzete:302 = 900, 162 = 256
- Az összeg:e2 = 900 + 256 = 1156
- Gyökvonás után:e = √1156 = 34 cm
Eredménye = 34 cm
Visszafelé: az átlóból a hiányzó oldal
A gyakoribb feladattípus valójában a fordítottja: az átló és az egyik oldal ismert, és a másik oldalt – vagy a területet – kérdezik. Ilyenkor a képletet a befogóra rendezed át.
Kidolgozott példa · e = 20 cm, a = 12 cm
Egy téglalap átlója 20 cm, az egyik oldala 12 cm. Mekkora a másik oldala, és mekkora a téglalap területe?
- A Pitagorasz-tételt a hiányzó befogóra rendezed:b = √e2 − a2 = √202 − 122
- A négyzetek különbsége:b = √400 − 144 = √256
- Innen az oldal:b = 16 cm
- A terület már egy szorzás:T = 12 · 16 = 192 cm2
Eredményb = 16 cm, T = 192 cm²
Az átló és a kerület vagy a terület
Ha a feladat az átló mellé a területet vagy a kerületet adja meg, két ismeretlenes egyenletrendszert kapsz. Ilyenkor a két összefüggést használod: a2 + b2 = e2 és a · b = T (vagy a + b = K2). Ezekből az (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab azonosság segítségével gyorsan célba érsz.
| Ismert adatok | Következő lépés | Eredmény |
|---|---|---|
| a és b | közvetlen behelyettesítés | e = √a2 + b2 |
| e és a | átrendezés a befogóra | b = √e2 − a2 |
| e és T | egyenletrendszer | mindkét oldal |
| csak e | nem elég | végtelen sok megoldás |
| a (négyzetnél) | gyök kettő szorzó | e = a · √2 |
Kidolgozott példa · Négyzet: a = 5 cm
Mekkora az 5 cm oldalú négyzet átlója?
- A négyzet olyan téglalap, ahol a = b, ezért:e = √a2 + a2 = √2 · a2
- A gyök alól kiemelve:e = a · √2
- Behelyettesítve:e = 5 · 1,4142 = 7,07 cm
Eredménye = 7,07 cm (pontosan 5 · √2 cm)
Az átló szöge és a képernyőméret
Az átló a téglalap oldalával szöget zár be, amit a tangens ad meg: tg α = ba. A 24 cm × 7 cm-es téglalapnál tg α = 7 : 24 = 0,2917, tehát α = 16,26°. Minél „laposabb" a téglalap, annál kisebb ez a szög.
Ennek van egy nagyon gyakorlati alkalmazása: a képernyők méretét az átlójukkal adják meg, a képarányukat pedig külön. Ebből a két adatból az oldalak visszaszámolhatók.
Kidolgozott példa · Képernyő: 55 colos átló, 16:9 képarány
Mekkora a képernyő szélessége és magassága?
- Legyen a szélesség 16k, a magasság 9k. A Pitagorasz-tétel szerint:e2 = (16k)2 + (9k)2 = 337 · k2
- Innen az arányegység:k = 55√337 = 5518,3576 = 2,996
- A szélesség:a = 16 · 2,996 = 47,94 col ≈ 121,8 cm
- A magasság:b = 9 · 2,996 = 26,96 col ≈ 68,5 cm
EredményA képernyő kb. 121,8 cm × 68,5 cm – vagyis egy 55 colos tévé jóval keskenyebb, mint amit az 55-ös szám sugall.
Gyors önellenőrzés
Egy téglalap oldalai 9 cm és 40 cm. Mekkora az átlója?
Mekkora egy 8 cm oldalú négyzet átlója?
Egy 90 cm széles ajtón átfér-e egy 100 cm × 40 cm-es lap, ha nem lehet megdönteni?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a téglalap átlóját?
A Pitagorasz-tétellel: e = √a2 + b2. Például 24 cm és 7 cm oldalak esetén e = √576 + 49 = √625 = 25 cm. Az átló mindig hosszabb bármelyik oldalnál, de rövidebb a két oldal összegénél.
Miért a Pitagorasz-tétel adja meg az átlót?
Mert az átló a két szomszédos oldallal derékszögű háromszöget alkot – a téglalap minden szöge 90°. Ebben a háromszögben az átló az átfogó, a két oldal pedig a befogó, és rájuk érvényes az a2 + b2 = e2 összefüggés.
Egyenlő a téglalap két átlója?
Igen, a téglalap két átlója egyenlő hosszú, és a metszéspontjukban felezik egymást. Ez különbözteti meg a többi paralelogrammától, és ezért írható a téglalap köré kör, amelynek a sugara az átló fele.
Hogyan kapom meg az oldalt, ha az átlót ismerem?
Ha az átló mellett az egyik oldal is adott: b = √e2 − a2. Csak az átlóból nem megy, mert ugyanahhoz az átlóhoz végtelen sok különböző oldalpár tartozik – kell mellé még egy adat (a másik oldal, a terület vagy a kerület).
Mekkora a négyzet átlója?
e = a · √2, vagyis az oldal körülbelül 1,4142-szerese. Egy 5 cm oldalú négyzet átlója 7,07 cm. Ez a téglalapképlet speciális esete, amikor a = b.
Hány cm egy 55 colos képernyő oldala?
16:9 képarány mellett a szélesség kb. 121,8 cm, a magasság kb. 68,5 cm. A megadott 55 col (139,7 cm) az átló hossza, nem a szélességé – ezért tűnik minden képernyő kisebbnek, mint amire a szám alapján számítanánk.