Pitagorasz-tétel
Pitagorasz-tétel 8. osztályban – dolgozatra felkészítő
A 8. osztályos dolgozat háromféle feladatot kérdez: átfogót, befogót és szöveges feladatot. Itt mindhárom megvan lépésről lépésre – és az is, hol szoktak pontot levonni.
Röviden a válasz
A Pitagorasz-tétel 8. osztályban így hangzik: derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével, azaz a2 + b2 = c2. A c mindig az átfogó, vagyis a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal.
A dolgozat gyakorlatilag mindig ugyanazt a három dolgot kéri: átfogó számítása két befogóból (c = √a2 + b2), hiányzó befogó számítása (b = √c2 − a2), és egy szöveges feladat, ahol neked kell megtalálni a derékszöget.
Ellenőrizd magad számolás után
Írd be a két befogót az átfogóhoz – vagy az átfogót és az egyik befogót a hiányzó befogóhoz. A derékszög a C csúcsnál van.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit kell tudni a dolgozatra?
- A tétel pontos kimondása: derékszögű háromszögben a2 + b2 = c2, ahol a és b a befogók, c az átfogó.
- Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal, és mindig ez a leghosszabb. A befogók a derékszöget közrefogó oldalak.
- Átfogó számítása: összeadás, majd gyökvonás. Befogó számítása: kivonás, majd gyökvonás.
- Négyzetgyökvonás számológéppel, és kerekítés két tizedesjegyre (ha a tanárod mást nem kér).
- A tétel csak derékszögű háromszögben igaz. Ha nincs derékszög, nem használható.
1. feladattípus: átfogó számítása
Kidolgozott példa · Befogók: 9 cm és 12 cm
Mekkora a derékszögű háromszög átfogója?
- Írd fel a tételt:c2 = a2 + b2
- Helyettesíts be:c2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
- Vonj gyököt:c = √225 = 15 cm
Eredményc = 15 cm
2. feladattípus: hiányzó befogó
Kidolgozott példa · Átfogó: 25 cm, egyik befogó: 7 cm
Mekkora a másik befogó?
- Rendezd a tételt a keresett oldalra:b2 = c2 − a2
- Behelyettesítés – itt kivonás van, nem összeadás:b2 = 252 − 72 = 625 − 49 = 576
- Gyökvonás:b = √576 = 24 cm
- Ellenőrzés visszafelé:72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252
Eredményb = 24 cm
A visszaellenőrzés egyetlen sor, és a dolgozatban is elfér. Ha a két befogó négyzetösszege nem adja vissza az átfogó négyzetét, elszámoltad valahol – lásd bővebben a Pitagorasz-tétel megfordítása oldalon.
3. feladattípus: szöveges feladat
Itt neked kell megtalálni a derékszöget. A leggyakoribb helyszínek: téglalap átlója, létra a falnál, torony és árnyék, két merőleges irányba megtett út.
Kidolgozott példa · Egy téglalap alakú kert 40 m hosszú és 9 m széles
Mekkora a kert átlója?
- A téglalap átlója két derékszögű háromszögre vágja a téglalapot, a két oldal a befogó:e2 = 402 + 92
- Számolj:e2 = 1600 + 81 = 1681
- Gyökvonás:e = √1681 = 41 m
EredményAz átló 41 m.
Kidolgozott példa · Nem jön ki szép szám: befogók 5 cm és 11 cm
Mekkora az átfogó két tizedesjegyre kerekítve?
- A tétel:c2 = 52 + 112 = 25 + 121 = 146
- Gyökvonás számológéppel:c = √146 = 12,0830...
- Kerekítés két tizedesjegyre:c = 12,08 cm
Eredményc = 12,08 cm
8. osztály és 9. osztály – mi a különbség?
| 8. osztály | 9. osztály | |
|---|---|---|
| Mit kérnek | Hiányzó oldal síkbeli derékszögű háromszögben | Térbeli feladatok: testátló, gúla magassága, kúp alkotója |
| Szöveges feladatok | Létra, téglalap átlója, út | Koordináta-geometria: két pont távolsága |
| Kapcsolódó anyag | Négyzetgyök, terület, kerület | Szögfüggvények, magasságtétel, befogótétel |
| Bizonyítás | Szemléltetés kirakós ábrával | Területalapú bizonyítás levezetése |
A 9. osztályos folytatáshoz a Pitagorasz-tétel alkalmazása oldal ad térbeli és koordinátás példákat, a bizonyítást pedig a Pitagorasz-tétel bizonyítása mutatja meg. Több gyakorlófeladat megoldással a Pitagorasz-tétel feladatok oldalon van.
Dolgozat előtti ellenőrző lista
- Rajzolj és jelöld a derékszögetVázlat nélkül könnyű összekeverni, melyik oldal az átfogó.
- Írd fel a tételt betűkkelCsak utána helyettesíts be. Így látszik, hogy összeadás vagy kivonás kell.
- Ne felejtsd a gyökvonástA négyzetes érték még nem az oldal hossza.
- Ellenőrizz visszafeléA két befogó négyzetösszege adja vissza az átfogó négyzetét.
- Mértékegység és kerekítésÍrd oda a cm-t vagy m-t, és a szöveges feladatra mondattal válaszolj.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 20 cm és 21 cm. Mekkora az átfogó?
Egy derékszögű háromszög átfogója 13 cm, egyik befogója 12 cm. Mekkora a másik befogó?
Használhatod-e a tételt egy 6 cm, 7 cm, 8 cm oldalú háromszögben?
Mekkora egy 6 cm oldalú négyzet átlója?
Gyakori kérdések
Hogyan szól a Pitagorasz-tétel 8. osztályos megfogalmazásban?
Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. A c mindig a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal.
Mikor adok össze és mikor vonok ki?
Ha az átfogót keresed, összeadsz: c = √a2 + b2. Ha befogót keresel, kivonsz: b = √c2 − a2. Ez a kettő a dolgozat leggyakoribb pontlevonási helye.
Milyen feladatok jönnek a 8. osztályos dolgozatban?
Három típus: átfogó számítása két befogóból, hiányzó befogó számítása, és szöveges feladat (téglalap átlója, létra a falnál, két merőleges irányba megtett út).
Mi a különbség a 8. és a 9. osztályos anyag között?
Nyolcadikban síkbeli, egylépéses feladatok jönnek. Kilencedikben ugyanez térben (testátló, gúla magassága), koordináta-geometriában, és el kell mondani a bizonyítást is.
Mit tegyek, ha nem jön ki egész szám?
Ez a normális eset. Hagyd meg a √146 alakot pontos válaszként, vagy kerekíts két tizedesjegyre: 12,08 cm. Kerekíteni csak a legvégén szabad.
Honnan tudom, hogy egy szöveges feladat Pitagorasz-tételes?
Keress derékszöget: fal és talaj, téglalap oldalai, észak-kelet irányú utak, függőleges magasság és vízszintes távolság. Ha van két egymásra merőleges szakasz, a harmadik, ferde szakasz a tétellel jön ki.